1.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Representar una medición mediante un triángulo y nombrar lados y ángulos coherentemente.
- Calcular longitudes y medidas angulares con relaciones trigonométricas.
- Elegir una relación adecuada y comprobar si el resultado es geométricamente posible.
Antes de empezar
- Aplicar Pitágoras.
- Reconocer seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo.
- Operar con raíces y aproximaciones.
Medir sin llegar físicamente al punto
La trigonometría convierte ángulos y longitudes conocidas en una longitud o un ángulo inaccesible. El dibujo debe registrar qué datos pertenecen al mismo triángulo.
En un triángulo rectángulo bastan las razones seno, coseno y tangente. Para un triángulo oblicuángulo se puede trazar una altura o usar relaciones generales.
- Correspondencia lado–ángulo
- Cada lado se nombra con la letra minúscula del ángulo opuesto: a frente a A, b frente a B y c frente a C. El lado mayor queda frente al ángulo mayor.
Elegir la relación adecuada
- Dibuja el triángulo, marca datos y pregunta.
- Si conoces un par lado–ángulo y otro lado o ángulo, usa el teorema del seno.
- Si conoces dos lados y el ángulo comprendido, o los tres lados, usa el teorema del coseno.
- Calcula con unidades coherentes y comprueba suma de ángulos y orden lado–ángulo.
Dos lados y el ángulo comprendido
En un triángulo, b = 7, c = 10 y A = 60°. Calcula a.
- Aplica a² = b² + c² − 2bc cos A.
- Sustituye: a² = 49 + 100 − 140 · 0,5.
- Simplifica: a² = 79.
a = √79, aproximadamente 8,89.
Seno o coseno según los datos
- Teorema del seno
Relaciona a/sen A = b/sen B = c/sen C. Necesita al menos un par opuesto conocido y puede exigir revisar casos ambiguos.
- Teorema del coseno
Relaciona tres lados y un ángulo. Con A = 90° se reduce a Pitágoras.
Emparejar un lado con un ángulo adyacente
Usar a/sen B porque ambas letras aparecen cerca en el dibujo.
Emparejar siempre el lado con su ángulo opuesto: a/sen A.
La relación depende de la oposición geométrica, no de la proximidad visual de las etiquetas.
- La trigonometría resuelve mediciones indirectas de longitudes y medidas angulares.
- El dibujo y la correspondencia lado–ángulo evitan sustituciones incoherentes.
- El seno conviene con pares opuestos; el coseno, con dos lados y el ángulo comprendido o tres lados.
- Toda respuesta debe respetar la geometría del triángulo.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Dos lados y ángulo comprendido → Teorema del coseno; Dos ángulos y un lado opuesto → Teorema del seno; Triángulo rectángulo con catetos → Pitágoras o tangente
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Respuesta: Tres lados conocidos → Coseno para hallar un ángulo; Un par lado-ángulo y otro ángulo → Teorema del seno; Altura y distancia horizontal → Tangente
Cada correspondencia se obtiene calculando o aplicando la definición indicada.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Con lados 8 y 6 y ángulo comprendido 60°, calcula el cuadrado del tercer lado.
Con lados 5 y 7 y ángulo comprendido 60°, calcula el cuadrado del tercer lado.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 52 — Con el ángulo comprendido uso el teorema del coseno: 8²+6²−2·8·6·cos60°. El coseno es un medio y obtengo 100−48=52.
8²+6²−2·8·6·cos60°=52.
Respuesta: 39 — El teorema del coseno da 5²+7²−2·5·7·cos60°. Como el coseno de sesenta grados es un medio, resto treinta y cinco a setenta y cuatro: treinta y nueve.
5²+7²−2·5·7·cos60°=39.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita un triángulo de lados 4, 6 y 11.
Audita un triángulo con A=30°, a=5, B=160°.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se declara que el triángulo existe. → No existe porque 4+6≤11.
La suma de dos lados debe superar al tercero.
Respuesta: Se intenta aplicar el teorema del seno. → El triángulo no existe: 30°+160°>180°.
Primero se comprueba que los ángulos sean posibles.
Reto integrador
Dos barras de longitudes 5 y 7 forman 60°. Modeliza el triángulo, calcula la distancia entre extremos y valida el resultado.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: La distancia es √39≈6,245.
d²=25+49−70·0,5=39; el valor cumple las cotas geométricas.
Compruébalo ahora
Si b = 7, c = 10 y el ángulo comprendido A = 60°, ¿cuánto vale a²?
Ver solución explicada
Respuesta: 79
49 + 100 − 2·7·10·cos 60° = 149 − 70 = 79.
Si A = 30°, a = 5 y B = 45°, calcula b con el teorema del seno.
Ver solución explicada
Respuesta: 5√2
b = 5·sen 45°/sen 30° = 5√2.
Un triángulo tiene lados 5, 5 y 6. ¿Qué área obtiene al trazar la altura sobre el lado 6?
- 10
- 12
- 15
- 18
Ver solución explicada
Respuesta: 12
La altura divide la base en 3 y 3; mide 4 por Pitágoras, y el área es 6·4/2 = 12.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas I · 1.º de Bachillerato · sentido de la medida: uso de la trigonometría para calcular y resolver problemas de longitudes y medidas angulares; teoremas del seno y del coseno como desarrollo editorial; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato