Proporcionalidad: reconocer la constante antes de calcular
1.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Comprobar mediante cocientes y gráfica si dos magnitudes son directamente proporcionales.
- Resolver problemas proporcionales por reducción a la unidad o factor de escala.
- Calcular porcentajes y cambios porcentuales identificando siempre la cantidad de referencia.
Antes de empezar
- Dividir números decimales.
- Interpretar fracciones con denominador 100.
- Leer pares de valores en una tabla.
La proporcionalidad exige una razón constante
Dos magnitudes son directamente proporcionales si cada valor de la segunda se obtiene multiplicando el primero por un mismo número k. Por eso el cociente y/x debe ser constante cuando x no es cero.
En la gráfica, los puntos de una proporcionalidad directa están alineados con el origen: si no hay cantidad de entrada, tampoco hay cantidad de salida. Una cuota fija rompe esta condición aunque después el precio aumente siempre al mismo ritmo.
- Constante de proporcionalidad
- Es el cociente k = y/x que se conserva en todos los pares no nulos de una relación directamente proporcional. Permite escribir y = kx y calcular cualquier valor compatible.
Diagnosticar antes de aplicar
- Nombra las dos magnitudes y sus unidades.
- Forma varios cocientes y/x con pares de la tabla; una sola coincidencia no basta.
- Comprueba que el par (0,0) es coherente con la situación y que la gráfica pasa por el origen.
- Si es proporcional, reduce a una unidad o multiplica por el factor de escala.
- Si interviene un porcentaje, identifica la base: p % de B es (p/100) × B. En un descuento, resta esa variación a la base; en un aumento, súmala.
Precio por cantidad sin cuota fija
Cuatro cuadernos cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan diez al mismo precio unitario?
- Las magnitudes son cuadernos y euros; suponemos que no hay descuentos ni cuota fija.
- Precio de una unidad: 6 : 4 = 1,50 € por cuaderno.
- Para diez unidades: 1,50 × 10 = 15 €.
- Comprobación: 6/4 = 15/10 = 1,5; el cociente constante confirma la proporción.
Diez cuadernos cuestan 15 €.
Misma pendiente, relación distinta
- Proporcional
y = 4x tiene cociente constante 4 y pasa por (0,0). Doblar x duplica y.
- Cuota fija
y = 4x + 3 aumenta 4 por unidad, pero y(0) = 3. El cociente y/x cambia y la relación no proporcional no pasa por el origen.
Encadenar porcentajes como si se anularan
Creer que bajar un 20 % y después subir un 20 % devuelve el valor inicial.
Cada porcentaje actúa sobre una base distinta. Desde 100, bajar 20 % da 80; subir después 20 % de 80 añade 16 y termina en 96.
Los cambios sucesivos se representan con factores: 0,80 × 1,20 = 0,96. La diferencia no es un error de cálculo, sino un cambio de referencia.
- Proporcionalidad directa significa cociente constante.
- Su gráfica pasa por el origen.
- Una cuota fija produce crecimiento lineal, pero no proporcionalidad directa.
- Todo porcentaje necesita una base explícita y los cambios sucesivos usan bases nuevas.
Compruébalo ahora
En el modelo A, calcula la constante de proporcionalidad y el valor de y cuando x = 5.
Ver solución explicada
Respuesta: k = 4; y = 20
Los cocientes 4/1, 8/2 y 12/3 valen 4. Por tanto, y = 4x; para x = 5, y = 20.
Explica con dos evidencias del visual por qué el modelo B no representa proporcionalidad directa.
Ver solución explicada
Respuesta: Tiene cuota fija: no pasa por el origen y sus cocientes y/x no son constantes
B contiene (0,3), no (0,0). Además 7/1 = 7, 11/2 = 5,5 y 15/3 = 5; esos cocientes cambian.
La etiqueta lateral marca 80 € y un descuento del 25 %. Calcula el descuento y el precio final.
Ver solución explicada
Respuesta: Descuento 20 €; precio final 60 €
El 25 % de 80 es 0,25 × 80 = 20. Como es un descuento, se resta de la base: 80 − 20 = 60.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido numérico: razonamiento proporcional y educación financiera; secuenciación editorial de 1.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Decimales y aproximaciones: representar sin fingir exactitudÁlgebra inicial: expresar, evaluar y conservar una igualdadFunciones y gráficas: conectar variables, tablas y expresiones