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Proporcionalidad: reconocer la constante antes de calcular

1.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Comprobar mediante cocientes y gráfica si dos magnitudes son directamente proporcionales.
  • Resolver problemas proporcionales por reducción a la unidad o factor de escala.
  • Calcular porcentajes y cambios porcentuales identificando siempre la cantidad de referencia.

Antes de empezar

  • Dividir números decimales.
  • Interpretar fracciones con denominador 100.
  • Leer pares de valores en una tabla.

La proporcionalidad exige una razón constante

Dos magnitudes son directamente proporcionales si cada valor de la segunda se obtiene multiplicando el primero por un mismo número k. Por eso el cociente y/x debe ser constante cuando x no es cero.

En la gráfica, los puntos de una proporcionalidad directa están alineados con el origen: si no hay cantidad de entrada, tampoco hay cantidad de salida. Una cuota fija rompe esta condición aunque después el precio aumente siempre al mismo ritmo.

Constante de proporcionalidad
Es el cociente k = y/x que se conserva en todos los pares no nulos de una relación directamente proporcional. Permite escribir y = kx y calcular cualquier valor compatible.

Diagnosticar antes de aplicar

  1. Nombra las dos magnitudes y sus unidades.
  2. Forma varios cocientes y/x con pares de la tabla; una sola coincidencia no basta.
  3. Comprueba que el par (0,0) es coherente con la situación y que la gráfica pasa por el origen.
  4. Si es proporcional, reduce a una unidad o multiplica por el factor de escala.
  5. Si interviene un porcentaje, identifica la base: p % de B es (p/100) × B. En un descuento, resta esa variación a la base; en un aumento, súmala.

Precio por cantidad sin cuota fija

Cuatro cuadernos cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan diez al mismo precio unitario?

  1. Las magnitudes son cuadernos y euros; suponemos que no hay descuentos ni cuota fija.
  2. Precio de una unidad: 6 : 4 = 1,50 € por cuaderno.
  3. Para diez unidades: 1,50 × 10 = 15 €.
  4. Comprobación: 6/4 = 15/10 = 1,5; el cociente constante confirma la proporción.

Diez cuadernos cuestan 15 €.

Misma pendiente, relación distinta

  • Proporcional

    y = 4x tiene cociente constante 4 y pasa por (0,0). Doblar x duplica y.

  • Cuota fija

    y = 4x + 3 aumenta 4 por unidad, pero y(0) = 3. El cociente y/x cambia y la relación no proporcional no pasa por el origen.

Encadenar porcentajes como si se anularan

Creer que bajar un 20 % y después subir un 20 % devuelve el valor inicial.

Cada porcentaje actúa sobre una base distinta. Desde 100, bajar 20 % da 80; subir después 20 % de 80 añade 16 y termina en 96.

Los cambios sucesivos se representan con factores: 0,80 × 1,20 = 0,96. La diferencia no es un error de cálculo, sino un cambio de referencia.

Contrasta dos modelos

Dos tablas y dos gráficas: el modelo A contiene los pares (0,0), (1,4), (2,8), (3,12) y pasa por el origen; el modelo B contiene (0,3), (1,7), (2,11), (3,15) y comienza con una cuota fija de 3. Una etiqueta aparte muestra 80 € y −25 %.
La misma subida de cuatro unidades no basta: solo el modelo A mantiene el cociente y pasa por el origen.

Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.

¿Qué tabla mantiene el cociente y pasa por el origen?

Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.

Comprobar la predicción

El modelo A cumple y=4x; el modelo B añade una cuota fija de 3.

Diagnostica relaciones

Relaciona cada regla con su diagnóstico.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: y=5x → Proporcional directa: cociente 5 y origen; y=5x+2 → No proporcional: término fijo 2; Pares (1,3), (2,7), (3,12) → No proporcional: el cociente cambia

La proporcionalidad directa exige cociente constante y gráfica por el origen.

Corrige el factor

Cada entrada cuesta 2,40 €. Se calculan 7 entradas. Localiza el primer error.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se multiplica solo 7×2=14 y se ignoran los 0,40 €. → 7×2,40=16,80 €; deben multiplicarse euros y céntimos.

El producto conserva toda la cantidad unitaria, incluida su parte decimal.

Aplica un aumento

Un precio de 150 € aumenta un 20 %. ¿Cuál es el nuevo precio?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 180 € — Calculo el veinte por ciento: treinta; lo sumo a ciento cincuenta y obtengo ciento ochenta euros.

El porcentaje se calcula siempre respecto de la cantidad de referencia declarada.

Compara tarifas y descuento

La tarifa A cuesta 4 € por hora. La B cuesta 4 € por hora más 6 € fijos. Decide cuál es proporcional, calcula 7 horas con A y aplica después un descuento del 25 %.

Solución accesible sin interacción
  • Comprueba cociente y término fijo.
  • Usa el factor de escala para siete horas.
  • Aplica el porcentaje sobre 28 €, no sobre otra base.

Respuesta: Solo A es proporcional; 7 horas cuestan 28 € y, tras el descuento, 21 €.

A cumple y=4x y pasa por el origen; B cumple y=4x+6. Para A, 7×4=28. El 25 % de 28 es 7 y 28−7=21.

  • Proporcionalidad directa significa cociente constante.
  • Su gráfica pasa por el origen.
  • Una cuota fija produce crecimiento lineal, pero no proporcionalidad directa.
  • Todo porcentaje necesita una base explícita y los cambios sucesivos usan bases nuevas.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    En el modelo A, calcula la constante de proporcionalidad y el valor de y cuando x = 5.

    Ver solución explicada

    Respuesta: k = 4; y = 20

    Los cocientes 4/1, 8/2 y 12/3 valen 4. Por tanto, y = 4x; para x = 5, y = 20.

  2. Ver la ilustración

    Explica con dos evidencias del visual por qué el modelo B no representa proporcionalidad directa.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Tiene cuota fija: no pasa por el origen y sus cocientes y/x no son constantes

    B contiene (0,3), no (0,0). Además 7/1 = 7, 11/2 = 5,5 y 15/3 = 5; esos cocientes cambian.

  3. Ver la ilustración

    La etiqueta lateral marca 80 € y un descuento del 25 %. Calcula el descuento y el precio final.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Descuento 20 €; precio final 60 €

    El 25 % de 80 es 0,25 × 80 = 20. Como es un descuento, se resta de la base: 80 − 20 = 60.

Alineación curricular y fuentes