Funciones y gráficas: conectar variables, tablas y expresiones
1.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Identificar variable independiente, variable dependiente, dominio y unidades en una situación.
- Traducir una relación entre tabla, pares ordenados, expresión y gráfica.
- Interpretar puntos y tendencias sin atribuir a la gráfica valores que el contexto no permite.
Antes de empezar
- Leer coordenadas cartesianas.
- Sustituir un número en una expresión sencilla.
- Interpretar escalas regulares.
Una función asigna una sola salida a cada entrada
En una situación funcional elegimos una variable independiente x y observamos cómo determina la variable dependiente y. Cada valor permitido de x debe tener como máximo un valor de y; dos puntos con la misma x y alturas distintas no describen una función de x.
Tabla, expresión y gráfica no son adornos alternativos. Cada representación facilita una pregunta: la tabla da valores exactos, la expresión permite calcular y la gráfica hace visibles cambios, máximos o intervalos.
- Par ordenado y dominio
- Un par ordenado (x,y) registra primero la entrada y después la salida. El dominio es el conjunto de valores de x admitidos por la relación y el contexto; no siempre incluye todos los números.
Construir una gráfica que conserve el significado
- Nombra la variable independiente, la dependiente y sus unidades.
- Calcula una tabla con valores de x pertenecientes al dominio.
- Escribe cada fila como par ordenado (x,y).
- Elige escalas regulares y rotula ambos ejes; sitúa cada punto sin intercambiar coordenadas.
- Une los puntos solo si los valores intermedios tienen sentido en el contexto. Comprueba después que la gráfica reproduce la tabla.
Un depósito con cantidad inicial
Un depósito contiene 10 L y recibe 3 L por minuto. Representa los primeros seis minutos.
- El tiempo x es independiente; el volumen y depende del tiempo.
- La expresión es y = 3x + 10.
- Para x = 0, 2, 4 y 6 obtenemos y = 10, 16, 22 y 28.
- Los pares (0,10), (2,16), (4,22) y (6,28) quedan alineados, pero la recta no pasa por el origen porque ya había 10 L.
La gráfica muestra un crecimiento de 3 L/min desde un valor inicial de 10 L.
Leer un punto no autoriza cualquier conclusión
- Interpolar
Entre 2 y 4 minutos, el llenado continuo permite calcular el volumen en 3 minutos.
- Extrapolar
Calcular para 100 minutos solo sería válido si el depósito tiene capacidad suficiente y el caudal no cambia; la fórmula aislada no garantiza esos hechos.
Confundir una recta con proporcionalidad directa
Afirmar que toda gráfica recta representa cantidades directamente proporcionales.
Además de ser una recta, debe pasar por el origen y conservar el cociente y/x.
La expresión y = 3x + 10 tiene crecimiento constante, pero el término inicial 10 impide la proporcionalidad directa.
- La variable independiente se elige como entrada; la dependiente responde.
- Los pares ordenados escriben primero x y después y.
- Tabla, expresión y gráfica deben coincidir en valores, unidades y dominio.
- Una recta con término inicial distinto de cero no representa proporcionalidad directa.
Compruébalo ahora
Identifica la variable independiente, la dependiente y sus unidades en el depósito.
Ver solución explicada
Respuesta: Independiente: tiempo en minutos; dependiente: volumen en litros
Elegimos el tiempo como entrada. El volumen observado cambia según los minutos transcurridos.
Usa y = 3x + 10 para calcular el volumen a los 8 minutos y escribe el nuevo par ordenado.
Ver solución explicada
Respuesta: 34 L; (8,34)
Sustituimos x = 8: y = 3 × 8 + 10 = 34. La entrada se escribe primero: (8,34).
¿Es proporcionalidad directa la relación del visual? Da una evidencia gráfica y otra algebraica.
Ver solución explicada
Respuesta: No; la gráfica no pasa por el origen y la expresión contiene el término fijo 10
Cuando x = 0, y = 10. Por ello no aparece (0,0), y el cociente y/x tampoco puede ser constante para todos los pares no nulos.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentidos algebraico y espacial: variables, relaciones, funciones y sistemas de representación; secuenciación editorial de 1.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Proporcionalidad: reconocer la constante antes de calcularÁlgebra inicial: expresar, evaluar y conservar una igualdadEstadística y probabilidad: describir datos sin exagerar conclusiones