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Álgebra inicial: expresar, evaluar y conservar una igualdad

1.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Traducir relaciones verbales sencillas a expresiones y ecuaciones respetando el orden de las operaciones.
  • Calcular el valor numérico de una expresión para un valor dado de la variable.
  • Resolver ecuaciones lineales sencillas manteniendo la equivalencia y comprobar la solución por sustitución.

Antes de empezar

  • Aplicar la jerarquía de operaciones.
  • Operar con números enteros.
  • Comprender una igualdad numérica.

Una letra puede representar un número y una relación

En 3x + 2, la letra x representa un número que todavía no se ha fijado. La expresión describe un proceso: multiplicar ese número por 3 y añadir 2. No afirma por sí sola que el resultado sea una cantidad concreta.

Al escribir 3x + 2 = 14 aparece una ecuación. Ahora buscamos los valores de x que hacen verdadera la igualdad. La solución pertenece a la relación completa, no a la letra aislada.

Valor numérico
Es el resultado de sustituir la variable de una expresión por un número y respetar la jerarquía. Si x = −2, el valor numérico de 3x + 5 es 3 × (−2) + 5 = −1.

Resolver sin romper el equilibrio

  1. Simplifica cada miembro por separado si contiene operaciones ya calculables.
  2. Elige una operación que acerque la incógnita a quedar sola.
  3. Realiza exactamente la misma operación en los dos miembros; así obtienes una ecuación equivalente.
  4. Repite hasta escribir x = número. Si multiplicas o divides, usa un número distinto de cero.
  5. Haz la sustitución del valor obtenido en la ecuación original y comprueba que ambos miembros coinciden.

Una ecuación como balanza

Resuelve 4x − 7 = 21.

  1. Sumamos 7 en los dos miembros: 4x − 7 + 7 = 21 + 7.
  2. Simplificamos: 4x = 28.
  3. Dividimos los dos miembros entre 4: x = 7.
  4. Sustitución: 4 × 7 − 7 = 28 − 7 = 21, igual al segundo miembro.

La solución es x = 7.

Tres objetos algebraicos diferentes

  • Expresión

    2x + 5 puede evaluarse, pero no tiene solución porque no plantea una igualdad.

  • Ecuación

    2x + 5 = 17 es verdadera solo para determinados valores; en este caso x = 6.

  • Identidad

    2(x + 3) = 2x + 6 es verdadera para cualquier x por la propiedad distributiva.

Cambiar un término de lado sin registrar la operación

Borrar −7 de un miembro y escribir +7 en el otro como un movimiento sin justificación.

Anotar que se suma 7 en los dos miembros y simplificar después.

El atajo puede recordar el resultado, pero oculta por qué la nueva ecuación tiene las mismas soluciones. La operación común es la garantía lógica.

Lee la balanza

Balanza equilibrada: en el platillo izquierdo hay tres cajas idénticas marcadas x y una pesa marcada 2; en el derecho hay una pesa marcada 14. Debajo aparece 3x + 2 = 14.
Conservar el equilibrio significa aplicar la misma operación a los dos platillos.

Observa la ilustración y anticipa una respuesta antes de calcular.

¿Qué ecuación representan tres cajas iguales y una pesa de 2 frente a 14?

Explica qué dato visual utilizas y qué parte necesita todavía un cálculo.

Comprobar la predicción

El equilibrio se traduce como 3x+2=14.

Traduce relaciones

Relaciona cada frase con su expresión.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: El doble de x más 3 → 2x+3; Tres menos que x → x−3; La mitad de y → y/2

El orden lingüístico debe conservar qué operación afecta a la variable.

Evalúa una expresión

¿Cuál es 2a²−3 para a=−2?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 5 — Al sustituir a por −2, elevo el negativo completo al cuadrado: (−2)²=4. Después multiplico cuatro por dos y resto tres, con resultado cinco.

Sustituir exige conservar paréntesis alrededor de valores negativos.

Conserva la igualdad

Se resuelve 4x+5=29. Localiza el primer error.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se divide entre 4 y se escribe x+5=7,25. → Primero se resta 5 en ambos miembros: 4x=24; después x=6.

Cada transformación debe aplicarse a todos los términos de ambos miembros.

Modela, resuelve y comprueba

El triple de una cantidad más 2 es 20. Escribe la ecuación, evalúa su miembro izquierdo para x=6, resuélvela y comprueba por sustitución.

Solución accesible sin interacción
  • Traduce respetando el orden verbal.
  • Haz la misma operación en ambos miembros.
  • Sustituye el valor en la ecuación original.

Respuesta: 3x+2=20; para x=6 vale 20; la solución es x=6.

La frase da 3x+2=20. Restar 2 produce 3x=18 y dividir entre 3 da x=6. Sustituir: 3×6+2=20.

  • Una expresión describe un cálculo; una ecuación afirma una igualdad.
  • El valor numérico se obtiene por sustitución.
  • Resolver exige la misma operación en los dos miembros.
  • La solución se verifica siempre en la ecuación original.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Resuelve la ecuación de la balanza, 3x + 2 = 14, indicando qué haces en ambos miembros.

    Ver solución explicada

    Respuesta: x = 4

    Restamos 2 en ambos miembros: 3x = 12. Dividimos ambos entre 3: x = 4. La comprobación da 3 × 4 + 2 = 14.

  2. Ver la ilustración

    Usa el valor x obtenido y calcula el valor numérico de 2x² − 3.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 29

    Con x = 4: 2 × 4² − 3 = 2 × 16 − 3 = 32 − 3 = 29.

  3. Ver la ilustración

    Añade una pesa unidad a cada grupo de cajas del platillo izquierdo: ahora hay tres grupos de (x + 1) y el total sigue siendo 14. Escribe y resuelve la nueva ecuación.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 3(x + 1) = 14; x = 11/3

    La frase se traduce como 3(x + 1) = 14. Al dividir ambos miembros entre 3, x + 1 = 14/3; al restar 1 en ambos, x = 11/3. Sustituir devuelve 3 × 14/3 = 14.

Alineación curricular y fuentes