Álgebra inicial: expresar, evaluar y conservar una igualdad
1.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Traducir relaciones verbales sencillas a expresiones y ecuaciones respetando el orden de las operaciones.
- Calcular el valor numérico de una expresión para un valor dado de la variable.
- Resolver ecuaciones lineales sencillas manteniendo la equivalencia y comprobar la solución por sustitución.
Antes de empezar
- Aplicar la jerarquía de operaciones.
- Operar con números enteros.
- Comprender una igualdad numérica.
Una letra puede representar un número y una relación
En 3x + 2, la letra x representa un número que todavía no se ha fijado. La expresión describe un proceso: multiplicar ese número por 3 y añadir 2. No afirma por sí sola que el resultado sea una cantidad concreta.
Al escribir 3x + 2 = 14 aparece una ecuación. Ahora buscamos los valores de x que hacen verdadera la igualdad. La solución pertenece a la relación completa, no a la letra aislada.
- Valor numérico
- Es el resultado de sustituir la variable de una expresión por un número y respetar la jerarquía. Si x = −2, el valor numérico de 3x + 5 es 3 × (−2) + 5 = −1.
Resolver sin romper el equilibrio
- Simplifica cada miembro por separado si contiene operaciones ya calculables.
- Elige una operación que acerque la incógnita a quedar sola.
- Realiza exactamente la misma operación en los dos miembros; así obtienes una ecuación equivalente.
- Repite hasta escribir x = número. Si multiplicas o divides, usa un número distinto de cero.
- Haz la sustitución del valor obtenido en la ecuación original y comprueba que ambos miembros coinciden.
Una ecuación como balanza
Resuelve 4x − 7 = 21.
- Sumamos 7 en los dos miembros: 4x − 7 + 7 = 21 + 7.
- Simplificamos: 4x = 28.
- Dividimos los dos miembros entre 4: x = 7.
- Sustitución: 4 × 7 − 7 = 28 − 7 = 21, igual al segundo miembro.
La solución es x = 7.
Tres objetos algebraicos diferentes
- Expresión
2x + 5 puede evaluarse, pero no tiene solución porque no plantea una igualdad.
- Ecuación
2x + 5 = 17 es verdadera solo para determinados valores; en este caso x = 6.
- Identidad
2(x + 3) = 2x + 6 es verdadera para cualquier x por la propiedad distributiva.
Cambiar un término de lado sin registrar la operación
Borrar −7 de un miembro y escribir +7 en el otro como un movimiento sin justificación.
Anotar que se suma 7 en los dos miembros y simplificar después.
El atajo puede recordar el resultado, pero oculta por qué la nueva ecuación tiene las mismas soluciones. La operación común es la garantía lógica.
- Una expresión describe un cálculo; una ecuación afirma una igualdad.
- El valor numérico se obtiene por sustitución.
- Resolver exige la misma operación en los dos miembros.
- La solución se verifica siempre en la ecuación original.
Compruébalo ahora
Resuelve la ecuación de la balanza, 3x + 2 = 14, indicando qué haces en ambos miembros.
Ver solución explicada
Respuesta: x = 4
Restamos 2 en ambos miembros: 3x = 12. Dividimos ambos entre 3: x = 4. La comprobación da 3 × 4 + 2 = 14.
Usa el valor x obtenido y calcula el valor numérico de 2x² − 3.
Ver solución explicada
Respuesta: 29
Con x = 4: 2 × 4² − 3 = 2 × 16 − 3 = 32 − 3 = 29.
Añade una pesa unidad a cada grupo de cajas del platillo izquierdo: ahora hay tres grupos de (x + 1) y el total sigue siendo 14. Escribe y resuelve la nueva ecuación.
Ver solución explicada
Respuesta: 3(x + 1) = 14; x = 11/3
La frase se traduce como 3(x + 1) = 14. Al dividir ambos miembros entre 3, x + 1 = 14/3; al restar 1 en ambos, x = 11/3. Sustituir devuelve 3 × 14/3 = 14.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: modelo, variable, igualdad y equivalencia; secuenciación editorial de 1.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Números enteros: posición, distancia y operaciones con signoProporcionalidad: reconocer la constante antes de calcularFunciones y gráficas: conectar variables, tablas y expresiones