Derivadas: variación, optimización y convexidad
2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar el signo de la derivada con crecimiento, decrecimiento y puntos críticos.
- Modelizar y resolver problemas de optimización en un dominio viable.
- Estudiar convexidad y puntos de inflexión mediante la segunda derivada.
Antes de empezar
- Calcular derivadas de funciones elementales.
- Resolver ecuaciones polinómicas sencillas.
- Interpretar dominio y gráfica de una función.
Derivar convierte una pregunta global en señales locales
El signo de f′ indica cómo varía f en intervalos: positivo al crecer y negativo al decrecer. Un punto con f′=0 es candidato a extremo, no una garantía.
La segunda derivada describe cómo cambia la pendiente. Su signo ayuda a estudiar convexidad y, si cambia al atravesar un punto, a detectar una inflexión.
- Optimización
- Optimizar consiste en maximizar o minimizar una magnitud sometida a restricciones. El modelo debe expresar la función objetivo con una sola variable y declarar el dominio que representa situaciones posibles.
Optimizar con un modelo comprobable
- Define variables, unidades y magnitud objetivo.
- Usa la restricción para escribir la función con una sola variable.
- Fija el dominio viable antes de derivar.
- Halla puntos críticos y extremos del dominio.
- Compara valores o usa cambios de signo y traduce el resultado al contexto.
Rectángulo de área máxima
Un rectángulo tiene perímetro 20 m. ¿Qué dimensiones maximizan su área?
- Si un lado mide x, el otro mide 10−x y 0<x<10.
- A(x)=x(10−x)=10x−x².
- A′(x)=10−2x; A′(x)=0 da x=5.
- A″(x)=−2<0, así que el punto crítico es un máximo.
El cuadrado de 5 m por 5 m alcanza el área máxima de 25 m².
Punto crítico y extremo
- Extremo local
En f(x)=x², f′(0)=0 y la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo.
- Sin extremo
En f(x)=x³, f′(0)=0 pero la función crece a ambos lados: el origen es una inflexión con tangente horizontal.
Olvidar los bordes del dominio
Comparar solo los puntos donde f′=0.
Incluir extremos del intervalo y puntos donde la derivada no exista, si pertenecen al dominio.
En un intervalo cerrado, un máximo absoluto puede estar en un borde aunque la derivada allí no se anule.
- El signo de f′ organiza crecimiento y decrecimiento.
- f′=0 solo produce candidatos.
- La optimización exige función objetivo, restricción y dominio.
- La segunda derivada ayuda a estudiar convexidad y clasificar puntos críticos.
Compruébalo ahora
Para f(x)=x³−3x², localiza y clasifica sus puntos críticos.
Ver solución explicada
Respuesta: Máximo local en x=0 y mínimo local en x=2
f′=3x(x−2) se anula en 0 y 2. Como f″=6x−6, f″(0)<0 y f″(2)>0.
Entre los rectángulos de perímetro 20 m, halla las dimensiones y el área máxima.
Ver solución explicada
Respuesta: 5 m por 5 m; área máxima 25 m²
A(x)=x(10−x) tiene su vértice y único punto crítico interior en x=5.
¿Qué puede afirmarse de f(x)=x² a partir de f″(x)=2?
- Es convexa en todo R
- Es cóncava en todo R
- Tiene una inflexión en 0
Ver solución explicada
Respuesta: Es convexa en todo R
La segunda derivada es positiva en todos los puntos; no cambia de signo en 0.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido de la medida y algebraico: derivadas, monotonía, optimización, convexidad y modelización; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato
Cuando lo tengas claro
Límites, continuidad y derivabilidadIntegrales: acumulación, áreas y volúmenesVectores, rectas y planos en el espacio