2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar el signo de la derivada con crecimiento, decrecimiento y puntos críticos.
- Modelizar y resolver problemas de optimización en un dominio viable.
- Estudiar convexidad y puntos de inflexión mediante la segunda derivada.
Antes de empezar
- Calcular derivadas de funciones elementales.
- Resolver ecuaciones polinómicas sencillas.
- Interpretar dominio y gráfica de una función.
Derivar convierte una pregunta global en señales locales
El signo de f′ indica cómo varía f en intervalos: positivo al crecer y negativo al decrecer. Un punto con f′=0 es candidato a extremo, no una garantía.
La segunda derivada describe cómo cambia la pendiente. Su signo ayuda a estudiar convexidad y, si cambia al atravesar un punto, a detectar una inflexión.
- Optimización
- Optimizar consiste en maximizar o minimizar una magnitud sometida a restricciones. El modelo debe expresar la función objetivo con una sola variable y declarar el dominio que representa situaciones posibles.
Optimizar con un modelo comprobable
- Define variables, unidades y magnitud objetivo.
- Usa la restricción para escribir la función con una sola variable.
- Fija el dominio viable antes de derivar.
- Halla puntos críticos y extremos del dominio.
- Compara valores o usa cambios de signo y traduce el resultado al contexto.
Rectángulo de área máxima
Un rectángulo tiene perímetro 20 m. ¿Qué dimensiones maximizan su área?
- Si un lado mide x, el otro mide 10−x y 0<x<10.
- A(x)=x(10−x)=10x−x².
- A′(x)=10−2x; A′(x)=0 da x=5.
- A″(x)=−2<0, así que el punto crítico es un máximo.
El cuadrado de 5 m por 5 m alcanza el área máxima de 25 m².
Punto crítico y extremo
- Extremo local
En f(x)=x², f′(0)=0 y la derivada cambia de negativa a positiva: hay un mínimo.
- Sin extremo
En f(x)=x³, f′(0)=0 pero la función crece a ambos lados: el origen es una inflexión con tangente horizontal.
Olvidar los bordes del dominio
Comparar solo los puntos donde f′=0.
Incluir extremos del intervalo y puntos donde la derivada no exista, si pertenecen al dominio.
En un intervalo cerrado, un máximo absoluto puede estar en un borde aunque la derivada allí no se anule.
- El signo de f′ organiza crecimiento y decrecimiento.
- f′=0 solo produce candidatos.
- La optimización exige función objetivo, restricción y dominio.
- La segunda derivada ayuda a estudiar convexidad y clasificar puntos críticos.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: f′>0 en un intervalo → f crece en ese intervalo; f′<0 en un intervalo → f decrece en ese intervalo; f′ cambia de + a − → máximo local
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Respuesta: g′ cambia de − a + → mínimo local; g′=0 sin cambio de signo → punto crítico sin extremo garantizado; g′>0 a ambos lados → crecimiento a ambos lados
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Un rectángulo tiene perímetro 20. Si un lado es x, ¿qué área se optimiza?
Un rectángulo tiene perímetro 28. Si un lado es x, ¿qué área se optimiza?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: A(x)=x(10−x), 0<x<10 — Del perímetro sale y=10−x; el área es xy y ambos lados han de ser positivos.
2x+2y=20 da y=10−x y ambos lados deben ser positivos.
Respuesta: A(x)=x(14−x), 0<x<14 — Los lados suman catorce, así que el área es x(14−x), con ambos positivos.
2x+2y=28 da y=14−x.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita la convexidad de f(x)=x³.
Audita la convexidad de g(x)=−x².
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se concluye que f es convexa en todo R. → Es cóncava en (−∞,0), convexa en (0,∞) y tiene inflexión en 0.
El signo de la segunda derivada cambia la convexidad.
Respuesta: Se concluye que g es convexa en R. → g es cóncava en todo R.
Una segunda derivada negativa indica concavidad.
Reto integrador
Entre los rectángulos de perímetro 24, modeliza el área, localiza el extremo y justifica si es máximo; calcula el área.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: A(x)=x(12−x)=12x−x², 0<x<12; A′=12−2x da x=6, A″=−2<0, máximo de 36 en un cuadrado 6×6.
El único crítico viable es 6 y la concavidad estricta confirma el máximo; 2·6+2·6=24.
Compruébalo ahora
Para f(x)=x³−3x², localiza y clasifica sus puntos críticos.
Ver solución explicada
Respuesta: Máximo local en x=0 y mínimo local en x=2
f′=3x(x−2) se anula en 0 y 2. Como f″=6x−6, f″(0)<0 y f″(2)>0.
Entre los rectángulos de perímetro 20 m, halla las dimensiones y el área máxima.
Ver solución explicada
Respuesta: 5 m por 5 m; área máxima 25 m²
A(x)=x(10−x) tiene su vértice y único punto crítico interior en x=5.
¿Qué puede afirmarse de f(x)=x² a partir de f″(x)=2?
- Es convexa en todo R
- Es cóncava en todo R
- Tiene una inflexión en 0
Ver solución explicada
Respuesta: Es convexa en todo R
La segunda derivada es positiva en todos los puntos; no cambia de signo en 0.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido de la medida y algebraico: derivadas, monotonía, optimización, convexidad y modelización; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato