2.º de BachilleratoRuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Calcular límites finitos e infinitos transformando indeterminaciones habituales.
- Comprobar continuidad mediante valor y límites laterales.
- Relacionar derivabilidad y continuidad sin confundir sus implicaciones.
Antes de empezar
- Factorizar polinomios sencillos.
- Interpretar gráficas de funciones.
- Calcular pendientes de rectas.
El límite describe la aproximación, no solo el valor
El límite de f(x) cuando x se acerca a a observa qué valores toma la función alrededor de a. Puede existir aunque f(a) no esté definido o sea distinto.
Una forma 0/0 es una indeterminación: indica que la sustitución directa no decide el límite y que hay que transformar la expresión sin alterar sus valores cercanos relevantes.
- Continuidad y derivabilidad en un punto
- f es continua en a si f(a) existe, existe el límite cuando x tiende a a y ambos coinciden. Es derivable si las pendientes laterales convergen al mismo valor finito. La derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no garantiza derivabilidad.
Resolver un límite con diagnóstico
- Sustituye para identificar el caso, sin llamar resultado a una indeterminación.
- Si aparece 0/0, prueba factorización, simplificación o conjugado según la expresión.
- En una función a trozos, calcula por separado los límites laterales.
- Para continuidad, compara además el límite común con el valor de la función.
- Para derivabilidad, compara las derivadas laterales después de comprobar continuidad.
Eliminar un factor que solo falla en el punto
Calcula el límite de (x²−9)/(x−3) cuando x tiende a 3.
- La sustitución produce 0/0.
- Factoriza x²−9=(x−3)(x+3).
- Para x distinto de 3, simplifica el factor x−3.
- Calcula el límite de x+3.
El límite es 6, aunque la expresión original no esté definida en x=3.
Hueco y esquina
- Discontinuidad evitable
Los límites laterales coinciden, pero falta el valor o no coincide; redefinir el punto puede reparar la continuidad.
- Punto anguloso
La función es continua, pero las pendientes laterales son distintas; no es derivable en ese punto.
Invertir la implicación
Afirmar que toda función continua es derivable.
Recordar que derivable implica continua; |x| es continua en 0 y no derivable allí.
En |x|, la pendiente lateral izquierda es −1 y la derecha es 1.
- Un límite estudia valores próximos al punto.
- 0/0 es una indeterminación que exige transformar.
- Continuidad requiere valor, límite y coincidencia.
- Derivabilidad exige continuidad y una única pendiente lateral.
Comprueba 1: relaciona y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con la conclusión que se deriva de sus datos.
Relaciona el nuevo lote con conclusiones distintas.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: lim (x²−4)/(x−2), x→2 → 4; lim (x²−1)/(x−1), x→1 → 2; lim 1/x, x→+∞ → 0
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Respuesta: lim (x²−9)/(x−3), x→3 → 6; lim (x²−16)/(x−4), x→4 → 8; lim 2/x, x→−∞ → 0
Cada relación se obtiene desde los datos y se comprueba de forma independiente.
Comprueba 2: decide con evidenciaPrueba otro caso
Si ambos laterales en a valen 5 y f(a)=5, ¿qué concluyes?
Si los laterales en a valen 2 pero f(a)=7, ¿qué concluyes?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Es continua en a — Límite y valor coinciden en cinco.
Límite bilateral y valor coinciden.
Respuesta: No es continua en a — El límite dos no coincide con f(a)=7.
El límite existe, pero no coincide con el valor.
Comprueba 3: audita la soluciónPrueba otro caso
Audita la afirmación sobre f(x)=|x| en x=0.
Audita f(x)=x^(1/3) en x=0.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Por ser continua, se afirma que es derivable en 0. → No es derivable: las pendientes laterales son −1 y 1.
Derivabilidad implica continuidad, pero no al revés.
Respuesta: Se afirma que la derivada finita vale 0. → No hay derivada finita: el cociente crece sin cota.
El valor de la función no determina por sí solo la derivada.
Reto integrador
Sea f(x)=(x²−1)/(x−1) para x≠1 y f(1)=2. Calcula el límite, decide continuidad y derivabilidad en 1.
Solución accesible sin interacción
- Integra los tres objetivos y comprueba el resultado desde los datos.
Respuesta: Para x≠1, f=x+1; el límite y f(1) valen 2, es continua y su derivada en 1 vale 1.
La extensión coincide con la función lineal x+1 también en 1; su cociente incremental vale 1.
Compruébalo ahora
Calcula el límite de (x²−9)/(x−3) cuando x tiende a 3.
Ver solución explicada
Respuesta: 6
Se factoriza el numerador y, para x≠3, queda x+3; su límite es 6.
Sea f(x)=x+1 si x<2 y f(x)=k si x≥2. Halla k para que f sea continua en 2.
Ver solución explicada
Respuesta: k=3
El límite por la izquierda es 2+1=3; por la derecha y el valor f(2) son k, así que deben valer 3.
¿Qué ocurre con f(x)=|x| en x=0?
- Es continua y derivable
- Es continua pero no derivable
- No es continua
Ver solución explicada
Respuesta: Es continua pero no derivable
El valor y el límite son 0, pero las pendientes laterales son −1 y 1.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas II · 2.º de Bachillerato · sentido de la medida y algebraico: límites, continuidad, derivabilidad y análisis gráfico; secuenciación propia · Real Decreto 243/2022, currículo básico de Bachillerato