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Ecuaciones y sistemas: conservar la equivalencia

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Transformar ecuaciones con paréntesis y denominadores mediante operaciones equivalentes.
  • Resolver sistemas lineales por sustitución, igualación o reducción según su estructura.
  • Distinguir solución única, ninguna solución e infinitas soluciones y comprobar el resultado.

Antes de empezar

  • Aplicar la propiedad distributiva.
  • Calcular el m.c.m. de varios números.
  • Resolver una ecuación lineal sencilla operando en ambos miembros.

Equivalente significa mismas soluciones

Resolver una ecuación consiste en construir otras ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad no nula conserva la igualdad. La escritura debe mostrar qué operación se aplica y a qué términos.

Al eliminar paréntesis, el factor multiplica todos los términos interiores. Al eliminar denominadores, el m.c.m. de los denominadores multiplica todos los términos de los dos miembros, incluidos los que no mostraban fracción.

Sistema lineal de dos ecuaciones
Es un par de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Una pareja (x, y) es solución solo si satisface las dos. Dos rectas que se cortan dan solución única; paralelas distintas, ninguna solución; coincidentes, infinitas soluciones.

Elegir un método de sistema

  1. Usa sustitución si una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1 fácil de despejar.
  2. Usa igualación si ambas ecuaciones permiten aislar cómodamente la misma incógnita.
  3. Usa reducción si puedes obtener coeficientes opuestos y eliminar una incógnita sumando ecuaciones completas.
  4. Sustituye el primer valor para hallar el segundo y comprueba la pareja en las dos ecuaciones originales.

Dos tipos de entrada

En una taquilla, 2 entradas A y 1 entrada J cuestan 23 €, mientras 1 A y 2 J cuestan 19 €.

  1. El sistema es 2A + J = 23 y A + 2J = 19.
  2. Multiplicamos la segunda ecuación por −2 y la sumamos a la primera: −3J = −15, luego J = 5.
  3. Sustituimos en A + 2J = 19: A + 10 = 19, por tanto A = 9.

A = 9 y J = 5; 2 · 9 + 5 = 23 y 9 + 2 · 5 = 19.

Qué puede ocurrir al simplificar

  • Solución única

    Si queda x = 4, existe un único valor que satisface la ecuación.

  • Ninguna solución

    Si queda una contradicción como 0 = 5, ningún valor cumple la igualdad original.

  • Infinitas soluciones

    Si queda una identidad como 0 = 0, todos los valores permitidos por la expresión original la satisfacen.

Multiplicar solo las fracciones

En x/2 + (x + 3)/3 = 6, multiplicar por 6 los dos términos fraccionarios y dejar el 6 derecho igual.

Multiplicar todos los términos de ambos miembros por 6: 3x + 2(x + 3) = 36.

La transformación debe afectar a la ecuación completa. Después 3x + 2x + 6 = 36, 5x = 30 y x = 6; la sustitución en la ecuación original confirma 3 + 3 = 6.

  • Toda transformación conserva el conjunto de soluciones.
  • El m.c.m. de los denominadores multiplica todos los términos.
  • Un sistema exige cumplir dos ecuaciones a la vez.
  • La forma final distingue solución única, ninguna solución o infinitas soluciones.

Observa antes de calcular

Taquilla con dos compras: dos entradas naranjas A y una azul J suman 23 euros; una entrada A y dos J suman 19 euros. Una tarjeta de comprobación muestra A = 9 y J = 5.
Las dos compras forman un sistema; la pareja A = 9, J = 5 satisface simultáneamente ambos totales.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada ecuación con su solución.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 3(x−2)=15 → x=7; x/4+2=5 → x=12; 2x+5=17 → x=6

Las operaciones equivalentes aíslan x y la sustitución confirma cada valor.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Resuelve 2x+y=11, x−y=1.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: (x,y)=(4,3) — Al sumar elimino y: 3x = 12; x es cuatro e y es tres. Ambas ecuaciones se cumplen.

Sumar las ecuaciones da 3x=12; x=4 y entonces y=3.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Clasifica y=2x+1 y 2y=4x+2.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se afirma que hay una única solución. → Hay infinitas soluciones: todos los puntos de la recta.

Dos ecuaciones equivalentes representan la misma recta.

Reto integrador

Resuelve 2(x−1)/3+1=7 y el sistema 2A+J=31, A+2J=26; clasifica y comprueba.

Solución accesible sin interacción
  • Da soluciones, clasificación y sustituciones.

Respuesta: x=10; A=12, J=7; solución única.

La ecuación lleva a 2(x−1)=18 y x=10. Por reducción, 3A=36: A=12, J=7.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Escribe y resuelve el sistema representado por las dos compras de la taquilla.

    Ver solución explicada

    Respuesta: A = 9 y J = 5

    Las ecuaciones son 2A + J = 23 y A + 2J = 19. Al reducir se obtiene J = 5 y, al sustituir, A = 9.

  2. Ver la ilustración

    Comprueba la pareja A = 9, J = 5 en los dos totales del visual.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 23 € y 19 €; cumple las dos ecuaciones

    Primera compra: 2 · 9 + 5 = 23. Segunda: 9 + 2 · 5 = 19. Cumplir solo una no habría bastado.

  3. Ver la ilustración

    Resuelve x/2 + (x + 3)/3 = 6 multiplicando todos los términos por el m.c.m. de los denominadores.

    Ver solución explicada

    Respuesta: x = 6

    El m.c.m. es 6: 3x + 2(x + 3) = 36. Entonces 5x + 6 = 36, 5x = 30 y x = 6; al sustituir, 3 + 3 = 6.

Alineación curricular y fuentes