Ecuaciones y sistemas: conservar la equivalencia
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Transformar ecuaciones con paréntesis y denominadores mediante operaciones equivalentes.
- Resolver sistemas lineales por sustitución, igualación o reducción según su estructura.
- Distinguir solución única, ninguna solución e infinitas soluciones y comprobar el resultado.
Antes de empezar
- Aplicar la propiedad distributiva.
- Calcular el m.c.m. de varios números.
- Resolver una ecuación lineal sencilla operando en ambos miembros.
Equivalente significa mismas soluciones
Resolver una ecuación consiste en construir otras ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad no nula conserva la igualdad. La escritura debe mostrar qué operación se aplica y a qué términos.
Al eliminar paréntesis, el factor multiplica todos los términos interiores. Al eliminar denominadores, el m.c.m. de los denominadores multiplica todos los términos de los dos miembros, incluidos los que no mostraban fracción.
- Sistema lineal de dos ecuaciones
- Es un par de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Una pareja (x, y) es solución solo si satisface las dos. Dos rectas que se cortan dan solución única; paralelas distintas, ninguna solución; coincidentes, infinitas soluciones.
Elegir un método de sistema
- Usa sustitución si una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1 fácil de despejar.
- Usa igualación si ambas ecuaciones permiten aislar cómodamente la misma incógnita.
- Usa reducción si puedes obtener coeficientes opuestos y eliminar una incógnita sumando ecuaciones completas.
- Sustituye el primer valor para hallar el segundo y comprueba la pareja en las dos ecuaciones originales.
Dos tipos de entrada
En una taquilla, 2 entradas A y 1 entrada J cuestan 23 €, mientras 1 A y 2 J cuestan 19 €.
- El sistema es 2A + J = 23 y A + 2J = 19.
- Multiplicamos la segunda ecuación por −2 y la sumamos a la primera: −3J = −15, luego J = 5.
- Sustituimos en A + 2J = 19: A + 10 = 19, por tanto A = 9.
A = 9 y J = 5; 2 · 9 + 5 = 23 y 9 + 2 · 5 = 19.
Qué puede ocurrir al simplificar
- Solución única
Si queda x = 4, existe un único valor que satisface la ecuación.
- Ninguna solución
Si queda una contradicción como 0 = 5, ningún valor cumple la igualdad original.
- Infinitas soluciones
Si queda una identidad como 0 = 0, todos los valores permitidos por la expresión original la satisfacen.
Multiplicar solo las fracciones
En x/2 + (x + 3)/3 = 6, multiplicar por 6 los dos términos fraccionarios y dejar el 6 derecho igual.
Multiplicar todos los términos de ambos miembros por 6: 3x + 2(x + 3) = 36.
La transformación debe afectar a la ecuación completa. Después 3x + 2x + 6 = 36, 5x = 30 y x = 6; la sustitución en la ecuación original confirma 3 + 3 = 6.
- Toda transformación conserva el conjunto de soluciones.
- El m.c.m. de los denominadores multiplica todos los términos.
- Un sistema exige cumplir dos ecuaciones a la vez.
- La forma final distingue solución única, ninguna solución o infinitas soluciones.
Compruébalo ahora
Escribe y resuelve el sistema representado por las dos compras de la taquilla.
Ver solución explicada
Respuesta: A = 9 y J = 5
Las ecuaciones son 2A + J = 23 y A + 2J = 19. Al reducir se obtiene J = 5 y, al sustituir, A = 9.
Comprueba la pareja A = 9, J = 5 en los dos totales del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: 23 € y 19 €; cumple las dos ecuaciones
Primera compra: 2 · 9 + 5 = 23. Segunda: 9 + 2 · 5 = 19. Cumplir solo una no habría bastado.
Resuelve x/2 + (x + 3)/3 = 6 multiplicando todos los términos por el m.c.m. de los denominadores.
Ver solución explicada
Respuesta: x = 6
El m.c.m. es 6: 3x + 2(x + 3) = 36. Entonces 5x + 6 = 36, 5x = 30 y x = 6; al sustituir, 3 + 3 = 6.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: equivalencia, ecuaciones y sistemas lineales en contextos; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Enteros y divisibilidad: organizar antes de calcularProporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivosFunción lineal y afín: pendiente, corte y contexto