Proporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivos
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir relaciones directas, inversas y no proporcionales mediante sus invariantes.
- Resolver proporcionalidad inversa manteniendo fijos el trabajo total y la productividad.
- Componer aumentos, descuentos e interés simple con factores multiplicativos.
Antes de empezar
- Calcular una razón y una constante de proporcionalidad.
- Hallar un porcentaje de una cantidad.
- Interpretar tablas de dos magnitudes.
Aumentar una magnitud no basta para clasificar
En proporcionalidad directa, el cociente y/x es constante y la gráfica pasa por el origen. En proporcionalidad inversa, el producto x · y es constante. Una relación puede crecer o decrecer sin cumplir ninguno de esos contratos.
Decir que más trabajadores implican menos tiempo solo es válido si se conserva el trabajo total, todas las personas mantienen la misma productividad y pueden trabajar simultáneamente sin estorbarse. Las condiciones forman parte del modelo, no son un detalle.
- Producto constante
- Dos magnitudes positivas son inversamente proporcionales si existe un valor k tal que x × y = k. Para una carga fija de 24 horas-puesto, 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 24. Si cambia la carga o el rendimiento, esa tabla deja de describir el mismo problema.
Componer porcentajes con factores
- Convierte cada cambio en factor multiplicativo: bajar p % equivale a multiplicar por 1 − p/100; subir p %, por 1 + p/100.
- Aplica los factores en el orden indicado sobre la cantidad que resulta en cada paso.
- Compara el resultado final con la base inicial para obtener el cambio global.
- En interés simple, el interés de cada periodo se calcula siempre sobre el capital inicial; si se capitaliza, ya no es interés simple.
Descuento y subida no se anulan
Un artículo de 100 € baja un 20 % y después sube un 10 %.
- La rebaja usa factor 0,80: 100 · 0,80 = 80 €.
- La subida usa factor 1,10 sobre 80: 80 · 1,10 = 88 €.
- El factor conjunto es 0,80 · 1,10 = 0,88.
El precio final es 88 €: queda un 12 % por debajo de la base, no un 10 %.
Tres relaciones distintas
- Directa
A precio unitario fijo, coste = precio · unidades; el cociente coste/unidades es constante.
- Inversa
Con trabajo total y productividad fijos, puestos · tiempo es constante.
- No proporcional
Una tarifa con cuota fija más consumo no pasa por el origen ni mantiene cociente o producto constante.
Sumar porcentajes sucesivos
Tratar −20 % y +10 % como −10 % porque 10 − 20 = −10.
Multiplicar factores: 0,80 · 1,10 = 0,88, que equivale a un cambio global de −12 %.
El segundo porcentaje usa una base distinta. Los porcentajes solo se suman directamente cuando se aplican por separado sobre la misma base.
- La proporcionalidad directa conserva un cociente.
- La inversa conserva un producto constante y exige condiciones fijas.
- Los cambios porcentuales sucesivos se componen con factores multiplicativos.
- El interés simple no añade los intereses al capital para el periodo siguiente.
Compruébalo ahora
La carga total del visual sigue siendo 24 horas-puesto y se mantienen las mismas condiciones. ¿Cuánto tardarían 6 puestos?
Ver solución explicada
Respuesta: 4 horas
En una relación inversa, puestos · horas = 24. Entonces 6 · h = 24 y h = 4.
Calcula el precio final del recorrido 100 € → −20 % → +10 %.
Ver solución explicada
Respuesta: 88 €
100 · 0,80 = 80 y 80 · 1,10 = 88. El segundo porcentaje se aplica sobre 80 €, no sobre 100 €.
¿Qué cambio porcentual global representa pasar de 100 € a 88 €?
Ver solución explicada
Respuesta: Una disminución del 12 %
La diferencia es 12 € sobre una base de 100 €. Por tanto, 12/100 = 0,12 = 12 %.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · razonamiento proporcional, porcentajes y educación financiera; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Fracciones y decimales: elegir una representación exactaFunción lineal y afín: pendiente, corte y contextoEcuaciones y sistemas: conservar la equivalencia