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Proporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivos

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Distinguir relaciones directas, inversas y no proporcionales mediante sus invariantes.
  • Resolver proporcionalidad inversa manteniendo fijos el trabajo total y la productividad.
  • Componer aumentos, descuentos e interés simple con factores multiplicativos.

Antes de empezar

  • Calcular una razón y una constante de proporcionalidad.
  • Hallar un porcentaje de una cantidad.
  • Interpretar tablas de dos magnitudes.

Aumentar una magnitud no basta para clasificar

En proporcionalidad directa, el cociente y/x es constante y la gráfica pasa por el origen. En proporcionalidad inversa, el producto x · y es constante. Una relación puede crecer o decrecer sin cumplir ninguno de esos contratos.

Decir que más trabajadores implican menos tiempo solo es válido si se conserva el trabajo total, todas las personas mantienen la misma productividad y pueden trabajar simultáneamente sin estorbarse. Las condiciones forman parte del modelo, no son un detalle.

Producto constante
Dos magnitudes positivas son inversamente proporcionales si existe un valor k tal que x × y = k. Para una carga fija de 24 horas-puesto, 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 24. Si cambia la carga o el rendimiento, esa tabla deja de describir el mismo problema.

Componer porcentajes con factores

  1. Convierte cada cambio en factor multiplicativo: bajar p % equivale a multiplicar por 1 − p/100; subir p %, por 1 + p/100.
  2. Aplica los factores en el orden indicado sobre la cantidad que resulta en cada paso.
  3. Compara el resultado final con la base inicial para obtener el cambio global.
  4. En interés simple, el interés de cada periodo se calcula siempre sobre el capital inicial; si se capitaliza, ya no es interés simple.

Descuento y subida no se anulan

Un artículo de 100 € baja un 20 % y después sube un 10 %.

  1. La rebaja usa factor 0,80: 100 · 0,80 = 80 €.
  2. La subida usa factor 1,10 sobre 80: 80 · 1,10 = 88 €.
  3. El factor conjunto es 0,80 · 1,10 = 0,88.

El precio final es 88 €: queda un 12 % por debajo de la base, no un 10 %.

Tres relaciones distintas

  • Directa

    A precio unitario fijo, coste = precio · unidades; el cociente coste/unidades es constante.

  • Inversa

    Con trabajo total y productividad fijos, puestos · tiempo es constante.

  • No proporcional

    Una tarifa con cuota fija más consumo no pasa por el origen ni mantiene cociente o producto constante.

Sumar porcentajes sucesivos

Tratar −20 % y +10 % como −10 % porque 10 − 20 = −10.

Multiplicar factores: 0,80 · 1,10 = 0,88, que equivale a un cambio global de −12 %.

El segundo porcentaje usa una base distinta. Los porcentajes solo se suman directamente cuando se aplican por separado sobre la misma base.

  • La proporcionalidad directa conserva un cociente.
  • La inversa conserva un producto constante y exige condiciones fijas.
  • Los cambios porcentuales sucesivos se componen con factores multiplicativos.
  • El interés simple no añade los intereses al capital para el periodo siguiente.

Observa antes de calcular

Taller con tres tarjetas de carga fija: 2 puestos y 12 horas, 3 puestos y 8 horas, 4 puestos y 6 horas; todas muestran producto 24. Debajo, precio 100 €, después 80 € y finalmente 88 €.
La tabla conserva 24 horas-puesto; los precios muestran que −20 % y +10 % producen 88 €, no 90 €.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Clasifica cada relación por su invariante.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: y=5x → Directa: y/x=5; xy=36 → Inversa: xy=36; y=5x+2 → No proporcional: término fijo 2

La directa conserva cociente; la inversa, producto; un término fijo rompe ambas.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Ocho trabajadores tardan 15 días. A igual productividad, ¿cuánto tardan 12?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 10 días — La tarea requiere 8 × 15 = 120 jornadas; doce trabajadores tardan diez días.

El trabajo es 8·15=120 jornadas; 120÷12=10 días.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Revisa un precio de 200 € que baja 15 % y luego sube 15 %.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se afirma que vuelve a 200 €. → El final es 195,50 €, una variación global de −2,25 %.

Los porcentajes actúan sobre bases distintas; 0,85·1,15=0,9775.

Reto integrador

Un trabajo requiere 180 jornadas. Calcula los días con 12 personas. Después aplica −20 % y +10 % a 500 € y clasifica ambas relaciones.

Solución accesible sin interacción
  • Calcula, clasifica y comprueba los dos modelos.

Respuesta: 15 días; 440 €; inversa para personas-tiempo y no compensación porcentual (−12 % global).

180÷12=15; 500·0,80·1,10=440; 440/500=0,88.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    La carga total del visual sigue siendo 24 horas-puesto y se mantienen las mismas condiciones. ¿Cuánto tardarían 6 puestos?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 4 horas

    En una relación inversa, puestos · horas = 24. Entonces 6 · h = 24 y h = 4.

  2. Ver la ilustración

    Calcula el precio final del recorrido 100 € → −20 % → +10 %.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 88 €

    100 · 0,80 = 80 y 80 · 1,10 = 88. El segundo porcentaje se aplica sobre 80 €, no sobre 100 €.

  3. Ver la ilustración

    ¿Qué cambio porcentual global representa pasar de 100 € a 88 €?

    Ver solución explicada

    Respuesta: Una disminución del 12 %

    La diferencia es 12 € sobre una base de 100 €. Por tanto, 12/100 = 0,12 = 12 %.

Alineación curricular y fuentes