Enteros y divisibilidad: organizar antes de calcular
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Interpretar signos, paréntesis, potencias y jerarquía antes de efectuar una operación combinada.
- Usar factorización prima para obtener divisores, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
- Elegir m.c.d. o m.c.m. a partir de las restricciones del problema y comprobar el resultado.
Antes de empezar
- Ordenar y operar con números enteros.
- Reconocer números primos y compuestos.
- Interpretar potencias con base negativa.
La estructura decide el orden
Una expresión con enteros no es una fila que se calcula de izquierda a derecha sin mirar. Primero se resuelven agrupaciones y potencias; después productos y cocientes; por último sumas y restas. Dentro de un mismo nivel se avanza de izquierda a derecha.
El signo pertenece al número solo cuando la escritura lo incluye. En (−3)² la base es −3; en −3² la potencia afecta a 3 y el signo queda fuera. Copiar bien la estructura evita un error antes de empezar la cuenta.
- Factorización prima
- Es escribir un entero positivo como producto de números primos. La descomposición de 72 es 2³ · 3². El máximo común divisor toma solo los factores comunes con el menor exponente; el mínimo común múltiplo toma todos los factores necesarios con el mayor exponente.
Elegir y comprobar m.c.d. o m.c.m.
- Pregunta si se buscan grupos iguales lo más grandes posible o una medida que divida varias cantidades: entonces suele intervenir el máximo común divisor.
- Pregunta si se busca la primera coincidencia de ciclos o el menor múltiplo común: entonces suele intervenir el mínimo común múltiplo.
- Factoriza las cantidades y construye el resultado con los exponentes adecuados.
- Comprueba la interpretación: el m.c.d. debe dividir exactamente cada cantidad y el m.c.m. debe ser múltiplo de todas.
Dos mantenimientos periódicos
Un equipo se revisa cada 18 días y otro cada 24. Hoy coinciden. ¿Cuándo volverán a coincidir?
- La pregunta pide la primera coincidencia futura: necesitamos el m.c.m.
- 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3.
- Tomamos 2³ y 3²: m.c.m.(18, 24) = 8 · 9 = 72.
Volverán a coincidir dentro de 72 días; 72 : 18 = 4 y 72 : 24 = 3.
Agrupar o sincronizar
- m.c.d.
Para cortar cintas de 18 y 24 cm en piezas iguales lo más largas posible, la longitud es m.c.d.(18, 24) = 6 cm.
- m.c.m.
Para sincronizar sucesos que se repiten cada 18 y 24 días, la primera coincidencia es m.c.m.(18, 24) = 72 días.
Quitar un paréntesis cambiando solo el primer signo
En −(5 − 8 + 2), cambiar 5 por −5 y dejar −8 + 2 sin modificar.
El signo menos multiplica todo el paréntesis por −1: −5 + 8 − 2 = 1.
La distribución afecta a todos los términos. Una comprobación segura es calcular primero el interior: 5 − 8 + 2 = −1; su opuesto es 1.
- Lee agrupaciones, potencias y signos antes de operar.
- La factorización prima organiza divisores y múltiplos.
- El m.c.d. sirve para repartir o medir en grupos máximos iguales.
- El m.c.m. localiza la primera coincidencia de ciclos y siempre se comprueba.
Compruébalo ahora
Usa los ciclos de 18 y 24 días del visual. Si hoy coinciden, ¿en cuántos días será la siguiente coincidencia?
Ver solución explicada
Respuesta: 72 días
La primera coincidencia es el mínimo común múltiplo: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3 y m.c.m. = 2³ · 3² = 72.
Calcula la expresión de la tarjeta: −18 + 3 · (−4) − (−6).
Ver solución explicada
Respuesta: −24
Primero 3 · (−4) = −12. Después −18 + (−12) − (−6) = −30 + 6 = −24.
Sin cambiar los ciclos del panel, calcula el máximo común divisor de 18 y 24 y explica qué longitud común máxima representaría.
Ver solución explicada
Respuesta: 6
Los factores comunes con menor exponente son 2 · 3 = 6. Representaría piezas iguales de 6 unidades, porque 18 : 6 = 3 y 24 : 6 = 4.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido numérico: operaciones, factores, múltiplos, divisores y factorización; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Potencias y raíces: propiedades con sus condicionesFracciones y decimales: elegir una representación exactaEcuaciones y sistemas: conservar la equivalencia