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Enteros y divisibilidad: organizar antes de calcular

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Interpretar signos, paréntesis, potencias y jerarquía antes de efectuar una operación combinada.
  • Usar factorización prima para obtener divisores, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
  • Elegir m.c.d. o m.c.m. a partir de las restricciones del problema y comprobar el resultado.

Antes de empezar

  • Ordenar y operar con números enteros.
  • Reconocer números primos y compuestos.
  • Interpretar potencias con base negativa.

La estructura decide el orden

Una expresión con enteros no es una fila que se calcula de izquierda a derecha sin mirar. Primero se resuelven agrupaciones y potencias; después productos y cocientes; por último sumas y restas. Dentro de un mismo nivel se avanza de izquierda a derecha.

El signo pertenece al número solo cuando la escritura lo incluye. En (−3)² la base es −3; en −3² la potencia afecta a 3 y el signo queda fuera. Copiar bien la estructura evita un error antes de empezar la cuenta.

Factorización prima
Es escribir un entero positivo como producto de números primos. La descomposición de 72 es 2³ · 3². El máximo común divisor toma solo los factores comunes con el menor exponente; el mínimo común múltiplo toma todos los factores necesarios con el mayor exponente.

Elegir y comprobar m.c.d. o m.c.m.

  1. Pregunta si se buscan grupos iguales lo más grandes posible o una medida que divida varias cantidades: entonces suele intervenir el máximo común divisor.
  2. Pregunta si se busca la primera coincidencia de ciclos o el menor múltiplo común: entonces suele intervenir el mínimo común múltiplo.
  3. Factoriza las cantidades y construye el resultado con los exponentes adecuados.
  4. Comprueba la interpretación: el m.c.d. debe dividir exactamente cada cantidad y el m.c.m. debe ser múltiplo de todas.

Dos mantenimientos periódicos

Un equipo se revisa cada 18 días y otro cada 24. Hoy coinciden. ¿Cuándo volverán a coincidir?

  1. La pregunta pide la primera coincidencia futura: necesitamos el m.c.m.
  2. 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3.
  3. Tomamos 2³ y 3²: m.c.m.(18, 24) = 8 · 9 = 72.

Volverán a coincidir dentro de 72 días; 72 : 18 = 4 y 72 : 24 = 3.

Agrupar o sincronizar

  • m.c.d.

    Para cortar cintas de 18 y 24 cm en piezas iguales lo más largas posible, la longitud es m.c.d.(18, 24) = 6 cm.

  • m.c.m.

    Para sincronizar sucesos que se repiten cada 18 y 24 días, la primera coincidencia es m.c.m.(18, 24) = 72 días.

Quitar un paréntesis cambiando solo el primer signo

En −(5 − 8 + 2), cambiar 5 por −5 y dejar −8 + 2 sin modificar.

El signo menos multiplica todo el paréntesis por −1: −5 + 8 − 2 = 1.

La distribución afecta a todos los términos. Una comprobación segura es calcular primero el interior: 5 − 8 + 2 = −1; su opuesto es 1.

  • Lee agrupaciones, potencias y signos antes de operar.
  • La factorización prima organiza divisores y múltiplos.
  • El m.c.d. sirve para repartir o medir en grupos máximos iguales.
  • El m.c.m. localiza la primera coincidencia de ciclos y siempre se comprueba.

Observa antes de calcular

Panel de mantenimiento con dos ruedas temporales de 18 y 24 días que vuelven a coincidir en el día 72, y una tarjeta con la expresión −18 + 3 · (−4) − (−6).
Los ciclos se sincronizan con el m.c.m.; la expresión exige leer jerarquía y signos antes de calcular.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada operación con su resultado después de respetar la jerarquía.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: −20 + 4 · (−3) → −32; (−2)⁴ − 5 → 11; 18 ÷ (−3) + 7 → 1

Primero se resuelven potencias y productos; después, sumas y restas con signo.

Comprueba 2: resuelve y justifica

¿Cuál es el m.c.d. de 84 y 126?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 42 — Dividen ambos 42 y sus divisores; al factorizar, los comunes con menor exponente dan 42.

84=2²·3·7 y 126=2·3²·7: se toman los factores comunes con menor exponente.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Detecta el error al cortar cuerdas de 48 m y 72 m en trozos iguales lo más largos posible.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se calcula el m.c.m. y se obtiene 144. → Calcular m.c.d.(48,72)=24 y usar trozos de 24 m.

La restricción pide un divisor común máximo, no una coincidencia futura.

Reto integrador

Calcula −12+2·(−5)−(−4), halla el mayor trozo común de 48 y 72 y la primera coincidencia de ciclos de 20 y 30.

Solución accesible sin interacción
  • Tres resultados verificados por sustitución y divisibilidad.

Respuesta: −18; 24; 60.

La operación da −12−10+4=−18; m.c.d.(48,72)=24; m.c.m.(20,30)=60.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Usa los ciclos de 18 y 24 días del visual. Si hoy coinciden, ¿en cuántos días será la siguiente coincidencia?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 72 días

    La primera coincidencia es el mínimo común múltiplo: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3 y m.c.m. = 2³ · 3² = 72.

  2. Ver la ilustración

    Calcula la expresión de la tarjeta: −18 + 3 · (−4) − (−6).

    Ver solución explicada

    Respuesta: −24

    Primero 3 · (−4) = −12. Después −18 + (−12) − (−6) = −30 + 6 = −24.

  3. Ver la ilustración

    Sin cambiar los ciclos del panel, calcula el máximo común divisor de 18 y 24 y explica qué longitud común máxima representaría.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 6

    Los factores comunes con menor exponente son 2 · 3 = 6. Representaría piezas iguales de 6 unidades, porque 18 : 6 = 3 y 24 : 6 = 4.

Alineación curricular y fuentes