Función lineal y afín: pendiente, corte y contexto
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir una función lineal proporcional de una función afín con término inicial.
- Calcular e interpretar la pendiente y la ordenada en el origen con unidades.
- Relacionar tabla, pares ordenados, expresión algebraica y gráfica dentro del dominio del problema.
Antes de empezar
- Representar pares ordenados.
- Distinguir variable independiente y dependiente.
- Reconocer una proporcionalidad directa.
Dos rectas pueden compartir pendiente y no función
Una función lineal de proporcionalidad tiene forma y = mx y pasa por el origen. Una función afín tiene forma y = mx + n; si n ≠ 0, incluye un valor inicial y no representa proporcionalidad directa.
La pendiente m mide el cambio de y por cada unidad de x. La ordenada en el origen n es el valor de y cuando x = 0. En un contexto, ambas necesitan unidades: euros por kilómetro para m y euros de cuota inicial para n, por ejemplo.
- Pendiente entre dos puntos
- Si x₂ ≠ x₁, la pendiente es m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). El numerador mide el cambio vertical y el denominador el cambio horizontal. El orden debe ser el mismo en ambos: segundo menos primero o primero menos segundo.
Pasar de dos puntos a una expresión
- Elige dos puntos de la recta y calcula m con sus diferencias.
- Sustituye un punto en y = mx + n para hallar n.
- Comprueba la expresión con el segundo punto.
- Interpreta m y n y limita las conclusiones al dominio donde el modelo tiene sentido.
Una recta con término inicial
La recta pasa por (0, 3) y (2, 7).
- m = (7 − 3)/(2 − 0) = 4/2 = 2.
- Como cuando x = 0 se tiene y = 3, la ordenada en el origen es n = 3.
- La expresión es y = 2x + 3; para x = 2 produce 7.
Es una función afín, no una proporcionalidad directa, porque n = 3 y no pasa por el origen.
Lineal y afín
- y = 2x
Es lineal y proporcional: m = 2, n = 0 y su gráfica pasa por (0, 0).
- y = 2x + 3
Es afín: tiene la misma pendiente 2, pero corta el eje vertical en (0, 3).
Confundir m con n
En y = 2x + 3, empezar la gráfica en (2, 0) porque 2 aparece primero.
Marcar primero (0, 3), la ordenada en el origen, y desde allí avanzar 1 en x y subir 2 en y para usar la pendiente.
m describe un cambio y n una posición inicial. Son magnitudes distintas aunque aparezcan juntas en la expresión.
- y = mx pasa por el origen y modeliza proporcionalidad directa.
- y = mx + n con n ≠ 0 es una función afín.
- La pendiente es cambio vertical dividido entre cambio horizontal.
- Tabla, puntos, expresión y gráfica deben coincidir en valores, escalas y unidades.
Compruébalo ahora
¿Cuál de los dos modelos del visual representa proporcionalidad directa y por qué?
Ver solución explicada
Respuesta: y = 2x, porque pasa por el origen
Una proporcionalidad directa tiene forma y = mx, con n = 0. El modelo afín corta el eje vertical en 3.
Calcula la pendiente de la recta afín usando (0, 3) y (2, 7).
Ver solución explicada
Respuesta: m = 2
m = (7 − 3)/(2 − 0) = 4/2 = 2. Por cada unidad horizontal, y aumenta dos.
Usa y = 2x + 3 para hallar el punto de la recta cuando x = 5.
Ver solución explicada
Respuesta: (5, 13)
y = 2 · 5 + 3 = 13. El par ordenado escribe primero la entrada x y después la salida y.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: relaciones lineales, representaciones y deducción de información; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Proporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivosEcuaciones y sistemas: conservar la equivalenciaEstadística y probabilidad: centro, dispersión y casos