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Función lineal y afín: pendiente, corte y contexto

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Distinguir una función lineal proporcional de una función afín con término inicial.
  • Calcular e interpretar la pendiente y la ordenada en el origen con unidades.
  • Relacionar tabla, pares ordenados, expresión algebraica y gráfica dentro del dominio del problema.

Antes de empezar

  • Representar pares ordenados.
  • Distinguir variable independiente y dependiente.
  • Reconocer una proporcionalidad directa.

Dos rectas pueden compartir pendiente y no función

Una función lineal de proporcionalidad tiene forma y = mx y pasa por el origen. Una función afín tiene forma y = mx + n; si n ≠ 0, incluye un valor inicial y no representa proporcionalidad directa.

La pendiente m mide el cambio de y por cada unidad de x. La ordenada en el origen n es el valor de y cuando x = 0. En un contexto, ambas necesitan unidades: euros por kilómetro para m y euros de cuota inicial para n, por ejemplo.

Pendiente entre dos puntos
Si x₂ ≠ x₁, la pendiente es m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). El numerador mide el cambio vertical y el denominador el cambio horizontal. El orden debe ser el mismo en ambos: segundo menos primero o primero menos segundo.

Pasar de dos puntos a una expresión

  1. Elige dos puntos de la recta y calcula m con sus diferencias.
  2. Sustituye un punto en y = mx + n para hallar n.
  3. Comprueba la expresión con el segundo punto.
  4. Interpreta m y n y limita las conclusiones al dominio donde el modelo tiene sentido.

Una recta con término inicial

La recta pasa por (0, 3) y (2, 7).

  1. m = (7 − 3)/(2 − 0) = 4/2 = 2.
  2. Como cuando x = 0 se tiene y = 3, la ordenada en el origen es n = 3.
  3. La expresión es y = 2x + 3; para x = 2 produce 7.

Es una función afín, no una proporcionalidad directa, porque n = 3 y no pasa por el origen.

Lineal y afín

  • y = 2x

    Es lineal y proporcional: m = 2, n = 0 y su gráfica pasa por (0, 0).

  • y = 2x + 3

    Es afín: tiene la misma pendiente 2, pero corta el eje vertical en (0, 3).

Confundir m con n

En y = 2x + 3, empezar la gráfica en (2, 0) porque 2 aparece primero.

Marcar primero (0, 3), la ordenada en el origen, y desde allí avanzar 1 en x y subir 2 en y para usar la pendiente.

m describe un cambio y n una posición inicial. Son magnitudes distintas aunque aparezcan juntas en la expresión.

  • y = mx pasa por el origen y modeliza proporcionalidad directa.
  • y = mx + n con n ≠ 0 es una función afín.
  • La pendiente es cambio vertical dividido entre cambio horizontal.
  • Tabla, puntos, expresión y gráfica deben coincidir en valores, escalas y unidades.

Observa antes de calcular

Dos tablas: y = 2x asocia 0, 1 y 2 con 0, 2 y 4; y = 2x + 3 los asocia con 3, 5 y 7. Ambas muestran incremento 2 por cada incremento 1; solo la primera pasa por el origen.
Los dos modelos tienen pendiente 2; solo y = 2x pasa por el origen, mientras y = 2x + 3 tiene corte vertical 3.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada regla con su clasificación y parámetros.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: y=3x → Lineal: m=3, b=0; y=3x−5 → Afín: m=3, b=−5; y=4 → Constante: m=0, b=4

La pendiente es el coeficiente de x y la ordenada es el valor para x=0.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Halla la recta que pasa por (1,4) y (5,12).

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: y=2x+2 — La pendiente es ocho entre cuatro, dos; 4 = 2 × 1 + b da b = 2.

m=(12−4)/(5−1)=2; 4=2·1+b da b=2.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Revisa la tabla de y=−2x+5.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: x=3 produce y=1. → Para x=3, y=−1.

−2·3+5=−1, no 1.

Reto integrador

Un taxi cobra y=1,5x+4 euros para x kilómetros. Clasifica el modelo, interpreta parámetros y calcula el coste de 8 km.

Solución accesible sin interacción
  • Conecta expresión, clasificación, parámetros y punto (8,16).

Respuesta: Función afín; 1,5 €/km y 4 € fijos; 16 € para 8 km.

La pendiente 1,5 mide el coste por km; la ordenada 4, la cuota fija; y(8)=12+4=16.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    ¿Cuál de los dos modelos del visual representa proporcionalidad directa y por qué?

    Ver solución explicada

    Respuesta: y = 2x, porque pasa por el origen

    Una proporcionalidad directa tiene forma y = mx, con n = 0. El modelo afín corta el eje vertical en 3.

  2. Ver la ilustración

    Calcula la pendiente de la recta afín usando (0, 3) y (2, 7).

    Ver solución explicada

    Respuesta: m = 2

    m = (7 − 3)/(2 − 0) = 4/2 = 2. Por cada unidad horizontal, y aumenta dos.

  3. Ver la ilustración

    Usa y = 2x + 3 para hallar el punto de la recta cuando x = 5.

    Ver solución explicada

    Respuesta: (5, 13)

    y = 2 · 5 + 3 = 13. El par ordenado escribe primero la entrada x y después la salida y.

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