Áreas y volúmenes: superficies, desarrollos y cuerpos
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir área lateral y área total mediante el desarrollo plano de un cuerpo.
- Calcular volúmenes de prismas y cilindros a partir del área de la base y la altura.
- Relacionar cambios de longitud con factores de área y volumen y conservar unidades.
Antes de empezar
- Calcular áreas de rectángulos y círculos.
- Reconocer prismas, cilindros y pirámides.
- Interpretar unidades cuadradas y cúbicas.
Cubrir no es llenar
El área mide superficie y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide espacio interior y se expresa en unidades cúbicas. Un desarrollo plano permite contar las caras que cubren un cuerpo, pero no representa directamente cuánto cabe dentro.
En un prisma recto, el área lateral reúne los rectángulos de alrededor y el área total añade las dos bases. El volumen se obtiene acumulando capas iguales: V = A_base · h. El cilindro responde a la misma idea con base circular.
- Área lateral, área total y volumen
- El área lateral excluye las bases; el área total suma área lateral y todas las bases. El volumen de un prisma o cilindro es V = A_base · h. Una pirámide o cono con la misma base y altura ocupa un tercio: V = A_base · h/3.
Resolver desde el cuerpo y su desarrollo
- Identifica la base y las caras laterales; no presupongas qué medida es altura.
- Calcula cada superficie con unidades cuadradas y suma solo las caras pedidas.
- Para el volumen, calcula primero el área de la base y multiplícala por la altura perpendicular; divide entre 3 en pirámides y conos.
- Comprueba la escala: si todas las longitudes se multiplican por k, el área lo hace por k² y el volumen por k³.
Prisma rectangular de 6 × 4 × 5
Calcula su área total y su volumen.
- Las parejas de caras tienen áreas 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30 y 4 · 5 = 20 cm².
- Área total = 2(24 + 30 + 20) = 148 cm².
- Área de la base = 6 · 4 = 24 cm² y volumen = 24 · 5 = 120 cm³.
Área total 148 cm²; volumen 120 cm³.
Misma base y altura, distinto volumen
- Prisma o cilindro
Todas las secciones paralelas a la base conservan el área; V = A_base · h.
- Pirámide o cono
Se estrecha hasta un vértice y ocupa un tercio del prisma o cilindro con igual base y altura.
Usar radio y diámetro como si fueran iguales
Si el diámetro de un cilindro es 6 cm, sustituir r = 6 en πr².
El radio es la mitad del diámetro: r = 3 cm; el área de base es 9π cm².
El cuadrado amplifica el error: usar 6 en lugar de 3 haría el área cuatro veces mayor. Las etiquetas del dibujo deben leerse antes de elegir la fórmula.
- Área lateral cubre los lados; área total añade las bases.
- V = A_base · h en prismas y cilindros.
- Pirámides y conos con la misma base y altura ocupan un tercio.
- Superficies usan unidades cuadradas y volúmenes, unidades cúbicas.
Compruébalo ahora
Calcula el volumen del prisma de 6 × 4 × 5 cm del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: 120 cm³
El área de la base es 6 · 4 = 24 cm². Al multiplicar por la altura 5 cm se obtiene 120 cm³.
Suma las seis caras inventariadas en el visual y calcula el área total del prisma.
Ver solución explicada
Respuesta: 148 cm²
Hay dos caras de cada tipo: 2(6 · 4 + 6 · 5 + 4 · 5) = 2(24 + 30 + 20) = 148 cm².
Calcula el volumen exacto del cilindro del visual, con r = 3 cm y h = 8 cm.
Ver solución explicada
Respuesta: 72π cm³
A_base = π · 3² = 9π cm² y V = A_base · h = 9π · 8 = 72π cm³.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido de la medida y espacial: longitudes, áreas, volúmenes, representaciones planas y cuerpos; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Pitágoras y semejanza: relaciones que se pueden comprobarPotencias y raíces: propiedades con sus condicionesProporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivos