2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Distinguir área lateral y área total mediante el desarrollo plano de un cuerpo.
- Calcular volúmenes de prismas y cilindros a partir del área de la base y la altura.
- Relacionar cambios de longitud con factores de área y volumen y conservar unidades.
Antes de empezar
- Calcular áreas de rectángulos y círculos.
- Reconocer prismas, cilindros y pirámides.
- Interpretar unidades cuadradas y cúbicas.
Cubrir no es llenar
El área mide superficie y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide espacio interior y se expresa en unidades cúbicas. Un desarrollo plano permite contar las caras que cubren un cuerpo, pero no representa directamente cuánto cabe dentro.
En un prisma recto, el área lateral reúne los rectángulos de alrededor y el área total añade las dos bases. El volumen se obtiene acumulando capas iguales: V = A_base · h. El cilindro responde a la misma idea con base circular.
- Área lateral, área total y volumen
- El área lateral excluye las bases; el área total suma área lateral y todas las bases. El volumen de un prisma o cilindro es V = A_base · h. Una pirámide o cono con la misma base y altura ocupa un tercio: V = A_base · h/3.
Resolver desde el cuerpo y su desarrollo
- Identifica la base y las caras laterales; no presupongas qué medida es altura.
- Calcula cada superficie con unidades cuadradas y suma solo las caras pedidas.
- Para el volumen, calcula primero el área de la base y multiplícala por la altura perpendicular; divide entre 3 en pirámides y conos.
- Comprueba la escala: si todas las longitudes se multiplican por k, el área lo hace por k² y el volumen por k³.
Prisma rectangular de 6 × 4 × 5
Calcula su área total y su volumen.
- Las parejas de caras tienen áreas 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30 y 4 · 5 = 20 cm².
- Área total = 2(24 + 30 + 20) = 148 cm².
- Área de la base = 6 · 4 = 24 cm² y volumen = 24 · 5 = 120 cm³.
Área total 148 cm²; volumen 120 cm³.
Misma base y altura, distinto volumen
- Prisma o cilindro
Todas las secciones paralelas a la base conservan el área; V = A_base · h.
- Pirámide o cono
Se estrecha hasta un vértice y ocupa un tercio del prisma o cilindro con igual base y altura.
Usar radio y diámetro como si fueran iguales
Si el diámetro de un cilindro es 6 cm, sustituir r = 6 en πr².
El radio es la mitad del diámetro: r = 3 cm; el área de base es 9π cm².
El cuadrado amplifica el error: usar 6 en lugar de 3 haría el área cuatro veces mayor. Las etiquetas del dibujo deben leerse antes de elegir la fórmula.
- Área lateral cubre los lados; área total añade las bases.
- V = A_base · h en prismas y cilindros.
- Pirámides y conos con la misma base y altura ocupan un tercio.
- Superficies usan unidades cuadradas y volúmenes, unidades cúbicas.
Observa antes de calcular
¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?
Comprobar la predicción
Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona las partes del área de un prisma 8×5×3.
Relaciona las partes de un prisma 7×4×2.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Dos bases de 8×5 → 80 u²; Área lateral → 78 u²; Área total → 158 u²
Las bases suman 2·40; el lateral es perímetro de base por altura: 2(8+5)·3.
Respuesta: Dos bases de 7×4 → 56 u²; Área lateral → 44 u²; Área total → 100 u²
2·28=56 y 2(7+4)·2=44; total 100.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Volumen de un cilindro de radio 4 y altura 7.
Volumen de un prisma 9×4×6.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 112π u³ — El área de base 16π se repite en siete de altura: 16π × 7 = 112π.
V=πr²h=π·16·7=112π.
Respuesta: 216 u³ — Multiplico base 9 × 4 por altura seis: 216 unidades cúbicas.
V=9·4·6=216.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Revisa una ampliación con factor lineal 2.
Revisa una ampliación con factor lineal 3.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se afirma que las áreas se multiplican por 2. → Área ×4 y volumen ×8.
Área usa k²=4 y volumen k³=8.
Respuesta: Se afirma que las áreas se multiplican por 6. → Área ×9 y volumen ×27.
Con k=3, k²=9 y k³=27.
Reto integrador
Para un cilindro r=2, h=5 calcula área lateral, total y volumen; después aplica una escala lineal k=2.
Solución accesible sin interacción
- Calcula con unidades y escala sin mezclarlas.
Respuesta: Lateral 20π, total 28π, volumen 20π; escalado: total 112π y volumen 160π.
AL=2πrh=20π; AT=20π+2π·4=28π; V=π·4·5=20π. Escalar multiplica área por 4 y volumen por 8.
Compruébalo ahora
Calcula el volumen del prisma de 6 × 4 × 5 cm del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: 120 cm³
El área de la base es 6 · 4 = 24 cm². Al multiplicar por la altura 5 cm se obtiene 120 cm³.
Suma las seis caras inventariadas en el visual y calcula el área total del prisma.
Ver solución explicada
Respuesta: 148 cm²
Hay dos caras de cada tipo: 2(6 · 4 + 6 · 5 + 4 · 5) = 2(24 + 30 + 20) = 148 cm².
Calcula el volumen exacto del cilindro del visual, con r = 3 cm y h = 8 cm.
Ver solución explicada
Respuesta: 72π cm³
A_base = π · 3² = 9π cm² y V = A_base · h = 9π · 8 = 72π cm³.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido de la medida y espacial: longitudes, áreas, volúmenes, representaciones planas y cuerpos; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO