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Pitágoras y semejanza: relaciones que se pueden comprobar

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Aplicar el teorema de Pitágoras después de identificar hipotenusa y catetos.
  • Usar el recíproco para decidir si un triángulo de lados conocidos es rectángulo.
  • Relacionar lados homólogos y factores de escala de longitudes, perímetros y áreas.

Antes de empezar

  • Reconocer un ángulo recto y clasificar triángulos.
  • Calcular cuadrados y raíces cuadradas.
  • Resolver proporciones directas.

La hipótesis va antes que la fórmula

El teorema de Pitágoras se aplica a un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y también el lado mayor. Si sus longitudes son a y b para los catetos y c para la hipotenusa, entonces a² + b² = c².

Cuando se conocen tres lados y se quiere decidir el tipo de triángulo, se usa el recíproco: se toma el lado mayor c y se compara c² con a² + b². La igualdad acredita un triángulo rectángulo; no basta con que las medidas parezcan proporcionadas.

Semejanza y lados homólogos
Dos figuras son semejantes si conservan la forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados homólogos guardan una misma razón k. Las longitudes y perímetros se multiplican por k; las áreas, por k². En cuerpos semejantes, los volúmenes se multiplican por k³.

Resolver sin confundir lados

  1. Marca el ángulo recto e identifica la hipotenusa como el lado opuesto y mayor.
  2. Si falta la hipotenusa, suma los cuadrados de los catetos; si falta un cateto, resta su cuadrado del de la hipotenusa.
  3. Extrae la raíz positiva y comprueba que la hipotenusa sigue siendo el lado mayor.
  4. En semejanza, empareja primero los lados homólogos y aplica la razón adecuada a longitud, área o volumen.

Dos triángulos del mismo patrón

Compara los triángulos de lados 3, 4, 5 y 6, 8, 10.

  1. En el pequeño, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
  2. En el grande, 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
  3. Los cocientes homólogos son 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2.

Ambos son rectángulos y semejantes con razón k = 2; el área del grande es 2² = 4 veces la del pequeño.

Teorema y recíproco

  • Hallar un lado

    Si ya se sabe que el triángulo es rectángulo, a² + b² = c² permite calcular la longitud desconocida.

  • Clasificar por tres lados

    Si solo se conocen tres medidas, se ordenan y se comprueba si el cuadrado del lado mayor iguala la suma de los otros dos.

Aplicar la razón lineal al área

Si una figura duplica sus lados, afirmar que su área también se duplica.

Cada dimensión lineal se multiplica por 2, así que el área se multiplica por 2 · 2 = 4.

La razón de semejanza k actúa una vez en cada dimensión independiente: k para longitudes, k² para superficies y k³ para volúmenes.

  • Pitágoras exige un triángulo rectángulo.
  • El lado mayor es el candidato a hipotenusa en el recíproco.
  • Los lados homólogos comparten una razón de semejanza.
  • Longitudes, áreas y volúmenes escalan con k, k² y k³.

Observa antes de calcular

Dos esquemas sin escala de triángulos rectángulos: uno con catetos 3 y 4 e hipotenusa 5; otro con catetos 6 y 8 e hipotenusa 10. Entre ellos aparecen las razones 6/3, 8/4 y 10/5, todas iguales a 2.
3² + 4² = 5² y las tres razones entre lados homólogos valen 2; las figuras se declaran sin escala para no representar una medida inexacta.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Un triángulo rectángulo tiene catetos 5 y 12. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 13 — Sumo los cuadrados 25 y 144: la raíz de 169 es trece.

c²=5²+12²=25+144=169; c=13.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Decide si 7, 24 y 25 forman un triángulo rectángulo.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se calcula 7²+24²=600. → 7²+24²=49+576=625, por tanto sí es rectángulo.

La suma aritmética estaba mal: 49+576=625.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Relaciona cada cambio con su factor de semejanza.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Un lado pasa de 4 a 12 → k=3; perímetro ×3; área ×9; Un perímetro pasa de 15 a 30 → k=2; área ×4; Un área pasa de 7 a 175 → k=5; longitudes ×5

Las longitudes y perímetros cambian por k; las áreas, por k².

Reto integrador

Una escalera forma un triángulo con catetos 9 y 12. Halla la hipotenusa, verifica el recíproco y escala la figura con k=2.

Solución accesible sin interacción
  • Conecta teorema, recíproco y semejanza.

Respuesta: Hipotenusa 15; es rectángulo; lados 18,24,30 y área ×4.

9²+12²=225=15². Al duplicar longitudes, el área se multiplica por 2²=4.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    En el modelo del visual con catetos 6 y 8, calcula la hipotenusa.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 10

    6² + 8² = 36 + 64 = 100. La raíz principal de 100 es 10, que además es el lado mayor.

  2. Ver la ilustración

    Sin usar la marca del ángulo, demuestra con el recíproco que 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Sí, porque 6² + 8² = 10²

    10 es el lado mayor. Como 36 + 64 = 100 y 10² = 100, se cumple la igualdad del recíproco.

  3. Ver la ilustración

    Si el triángulo 3-4-5 tuviera área 6 cm², ¿qué área tendría el triángulo semejante 6-8-10?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 24 cm²

    La razón de semejanza es k = 2. Las áreas se multiplican por k² = 4; 6 · 4 = 24 cm².

Alineación curricular y fuentes