Pitágoras y semejanza: relaciones que se pueden comprobar
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Aplicar el teorema de Pitágoras después de identificar hipotenusa y catetos.
- Usar el recíproco para decidir si un triángulo de lados conocidos es rectángulo.
- Relacionar lados homólogos y factores de escala de longitudes, perímetros y áreas.
Antes de empezar
- Reconocer un ángulo recto y clasificar triángulos.
- Calcular cuadrados y raíces cuadradas.
- Resolver proporciones directas.
La hipótesis va antes que la fórmula
El teorema de Pitágoras se aplica a un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y también el lado mayor. Si sus longitudes son a y b para los catetos y c para la hipotenusa, entonces a² + b² = c².
Cuando se conocen tres lados y se quiere decidir el tipo de triángulo, se usa el recíproco: se toma el lado mayor c y se compara c² con a² + b². La igualdad acredita un triángulo rectángulo; no basta con que las medidas parezcan proporcionadas.
- Semejanza y lados homólogos
- Dos figuras son semejantes si conservan la forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados homólogos guardan una misma razón k. Las longitudes y perímetros se multiplican por k; las áreas, por k². En cuerpos semejantes, los volúmenes se multiplican por k³.
Resolver sin confundir lados
- Marca el ángulo recto e identifica la hipotenusa como el lado opuesto y mayor.
- Si falta la hipotenusa, suma los cuadrados de los catetos; si falta un cateto, resta su cuadrado del de la hipotenusa.
- Extrae la raíz positiva y comprueba que la hipotenusa sigue siendo el lado mayor.
- En semejanza, empareja primero los lados homólogos y aplica la razón adecuada a longitud, área o volumen.
Dos triángulos del mismo patrón
Compara los triángulos de lados 3, 4, 5 y 6, 8, 10.
- En el pequeño, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
- En el grande, 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
- Los cocientes homólogos son 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2.
Ambos son rectángulos y semejantes con razón k = 2; el área del grande es 2² = 4 veces la del pequeño.
Teorema y recíproco
- Hallar un lado
Si ya se sabe que el triángulo es rectángulo, a² + b² = c² permite calcular la longitud desconocida.
- Clasificar por tres lados
Si solo se conocen tres medidas, se ordenan y se comprueba si el cuadrado del lado mayor iguala la suma de los otros dos.
Aplicar la razón lineal al área
Si una figura duplica sus lados, afirmar que su área también se duplica.
Cada dimensión lineal se multiplica por 2, así que el área se multiplica por 2 · 2 = 4.
La razón de semejanza k actúa una vez en cada dimensión independiente: k para longitudes, k² para superficies y k³ para volúmenes.
- Pitágoras exige un triángulo rectángulo.
- El lado mayor es el candidato a hipotenusa en el recíproco.
- Los lados homólogos comparten una razón de semejanza.
- Longitudes, áreas y volúmenes escalan con k, k² y k³.
Compruébalo ahora
En el modelo del visual con catetos 6 y 8, calcula la hipotenusa.
Ver solución explicada
Respuesta: 10
6² + 8² = 36 + 64 = 100. La raíz principal de 100 es 10, que además es el lado mayor.
Sin usar la marca del ángulo, demuestra con el recíproco que 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo.
Ver solución explicada
Respuesta: Sí, porque 6² + 8² = 10²
10 es el lado mayor. Como 36 + 64 = 100 y 10² = 100, se cumple la igualdad del recíproco.
Si el triángulo 3-4-5 tuviera área 6 cm², ¿qué área tendría el triángulo semejante 6-8-10?
Ver solución explicada
Respuesta: 24 cm²
La razón de semejanza es k = 2. Las áreas se multiplican por k² = 4; 6 · 4 = 24 cm².
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido espacial: congruencia, semejanza y relación pitagórica; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Potencias y raíces: propiedades con sus condicionesProporcionalidad inversa y cambios porcentuales sucesivosÁreas y volúmenes: superficies, desarrollos y cuerpos