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Potencias y raíces: propiedades con sus condiciones

2.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Aplicar cada propiedad de las potencias solo cuando se cumplen sus hipótesis.
  • Interpretar exponentes cero y negativos como consecuencias de los cocientes de potencias.
  • Calcular raíces cuadradas exactas y acotar las no exactas entre enteros consecutivos.

Antes de empezar

  • Reconocer base y exponente.
  • Factorizar números naturales.
  • Comparar cuadrados perfectos.

Cada propiedad responde a una estructura

En un producto de potencias con la misma base, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. En un cociente de la misma base no nula, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. En una potencia de potencia, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Son tres estructuras diferentes y no se mezclan.

También existen propiedades con el mismo exponente: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ y, si b no es cero, aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ. Por eso no es correcto resumir que toda propiedad exige la misma base.

Exponente cero y exponente negativo
Para a ≠ 0, a⁰ = 1. Si n es positivo, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. El signo del exponente indica inverso, no un resultado negativo: 2⁻³ = 1/8, mientras que (−2)³ = −8.

Acotar una raíz no exacta

  1. Busca dos cuadrados perfectos consecutivos que encierren el radicando.
  2. Si p² < N < (p + 1)², entonces p < √N < p + 1.
  3. Para aproximar más, prueba décimas y compara sus cuadrados sin confundir la aproximación con el valor exacto.
  4. Comprueba que la raíz principal de un número positivo es no negativa.

Situar √72

Acota √72 entre dos enteros y aproxima a una décima.

  1. 8² = 64 y 9² = 81, por tanto 8 < √72 < 9.
  2. 8,4² = 70,56 y 8,5² = 72,25.
  3. 72 está más cerca de 72,25 que de 70,56.

√72 ≈ 8,5 a una décima; el valor exacto sigue siendo √72.

Producto sí; suma no

  • √(9 · 16)

    Como los factores son no negativos, √(9 · 16) = √9 · √16 = 3 · 4 = 12.

  • √(9 + 16)

    √25 = 5, mientras que √9 + √16 = 7. La raíz no se distribuye sobre una suma.

Leer el exponente negativo como signo

Escribir 2⁻³ = −8.

Aplicar la definición: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

El exponente negativo invierte la potencia. El resultado solo sería negativo si la base y la paridad del exponente produjeran ese signo.

  • Producto y cociente de igual base operan con exponentes.
  • Potencia de potencia multiplica exponentes.
  • Exponente negativo significa inverso.
  • Las raíces se acotan con cuadrados y nunca se distribuyen sobre una suma.

Observa antes de calcular

Escalera de potencias de base 2 desde 2³ = 8 hasta 2⁻³ = 1/8, con cada descenso dividido entre 2; al lado, cuadrados de áreas 49, 64 y 72 para situar √72 entre 8 y 9.
Bajar un exponente divide entre la base; los cuadrados 64 y 81 acotan √72 entre 8 y 9.

¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?

Comprobar la predicción

Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada expresión con la potencia equivalente.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 3²·3⁴ → 3⁶; (2³)² → 2⁶; 5⁷÷5³ → 5⁴

Con la misma base se suman o restan exponentes; potencia de potencia los multiplica.

Comprueba 2: resuelve y justifica

¿Cuál es el valor de 4⁻²?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 1/16 — El exponente negativo invierte el cuadrado: 1/(4 × 4) = 1/16.

El exponente negativo invierte la potencia: 4⁻²=1/4²=1/16.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Acota √90 entre enteros consecutivos.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se concluye 10<√90<11. → 9<√90<10.

Como 81<90<100, la raíz queda entre 9 y 10.

Reto integrador

Simplifica (2⁵·2⁻²)÷2 y acota √20 entre enteros consecutivos.

Solución accesible sin interacción
  • Justifica propiedad, exponente y cota.

Respuesta: 4 y 4<√20<5.

Los exponentes dan 5−2−1=2, por tanto 2²=4; 4²=16<20<25=5².

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Calcula 2³ · 2⁻⁵ como potencia y como fracción.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 2⁻² = 1/4

    La base es la misma, así que se suman exponentes: 3 + (−5) = −2. Después 2⁻² = 1/2² = 1/4.

  2. Ver la ilustración

    Usa los cuadrados vecinos del visual para acotar √72 entre enteros consecutivos.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 8 < √72 < 9

    8² = 64 y 9² = 81; como 64 < 72 < 81, su raíz principal queda entre 8 y 9.

  3. Ver la ilustración

    ¿Cuál afirmación es correcta?

    • √(49 + 15) = √49 + √15
    • √(49 + 15) = 8
    • 2⁻³ = −8
    Ver solución explicada

    Respuesta: √(49 + 15) = 8

    49 + 15 = 64 y √64 = 8. La raíz no se distribuye sobre una suma y 2⁻³ = 1/8.

Alineación curricular y fuentes