Potencias y raíces: propiedades con sus condiciones
2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Aplicar cada propiedad de las potencias solo cuando se cumplen sus hipótesis.
- Interpretar exponentes cero y negativos como consecuencias de los cocientes de potencias.
- Calcular raíces cuadradas exactas y acotar las no exactas entre enteros consecutivos.
Antes de empezar
- Reconocer base y exponente.
- Factorizar números naturales.
- Comparar cuadrados perfectos.
Cada propiedad responde a una estructura
En un producto de potencias con la misma base, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. En un cociente de la misma base no nula, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. En una potencia de potencia, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Son tres estructuras diferentes y no se mezclan.
También existen propiedades con el mismo exponente: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ y, si b no es cero, aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ. Por eso no es correcto resumir que toda propiedad exige la misma base.
- Exponente cero y exponente negativo
- Para a ≠ 0, a⁰ = 1. Si n es positivo, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. El signo del exponente indica inverso, no un resultado negativo: 2⁻³ = 1/8, mientras que (−2)³ = −8.
Acotar una raíz no exacta
- Busca dos cuadrados perfectos consecutivos que encierren el radicando.
- Si p² < N < (p + 1)², entonces p < √N < p + 1.
- Para aproximar más, prueba décimas y compara sus cuadrados sin confundir la aproximación con el valor exacto.
- Comprueba que la raíz principal de un número positivo es no negativa.
Situar √72
Acota √72 entre dos enteros y aproxima a una décima.
- 8² = 64 y 9² = 81, por tanto 8 < √72 < 9.
- 8,4² = 70,56 y 8,5² = 72,25.
- 72 está más cerca de 72,25 que de 70,56.
√72 ≈ 8,5 a una décima; el valor exacto sigue siendo √72.
Producto sí; suma no
- √(9 · 16)
Como los factores son no negativos, √(9 · 16) = √9 · √16 = 3 · 4 = 12.
- √(9 + 16)
√25 = 5, mientras que √9 + √16 = 7. La raíz no se distribuye sobre una suma.
Leer el exponente negativo como signo
Escribir 2⁻³ = −8.
Aplicar la definición: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
El exponente negativo invierte la potencia. El resultado solo sería negativo si la base y la paridad del exponente produjeran ese signo.
- Producto y cociente de igual base operan con exponentes.
- Potencia de potencia multiplica exponentes.
- Exponente negativo significa inverso.
- Las raíces se acotan con cuadrados y nunca se distribuyen sobre una suma.
Compruébalo ahora
Calcula 2³ · 2⁻⁵ como potencia y como fracción.
Ver solución explicada
Respuesta: 2⁻² = 1/4
La base es la misma, así que se suman exponentes: 3 + (−5) = −2. Después 2⁻² = 1/2² = 1/4.
Usa los cuadrados vecinos del visual para acotar √72 entre enteros consecutivos.
Ver solución explicada
Respuesta: 8 < √72 < 9
8² = 64 y 9² = 81; como 64 < 72 < 81, su raíz principal queda entre 8 y 9.
¿Cuál afirmación es correcta?
- √(49 + 15) = √49 + √15
- √(49 + 15) = 8
- 2⁻³ = −8
Ver solución explicada
Respuesta: √(49 + 15) = 8
49 + 15 = 64 y √64 = 8. La raíz no se distribuye sobre una suma y 2⁻³ = 1/8.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido numérico: notación exponencial, potenciación, raíces y relaciones inversas; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Enteros y divisibilidad: organizar antes de calcularFracciones y decimales: elegir una representación exactaPitágoras y semejanza: relaciones que se pueden comprobar