2.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Comparar conjuntos mediante medidas de centro y dispersión sin reducirlos a una sola cifra.
- Construir frecuencias absoluta, relativa y porcentual y comprobar el total.
- Enumerar el espacio muestral de un experimento por fases y asignar probabilidades justificadas.
Antes de empezar
- Calcular media, mediana, moda y rango.
- Interpretar una frecuencia como recuento.
- Aplicar Laplace en resultados igualmente probables.
La misma media no describe la misma distribución
Las medidas de centro resumen una posición típica; las de dispersión describen cuánto se separan los datos. Los conjuntos 8, 10, 12 y 0, 10, 20 tienen media 10, pero sus rangos son 4 y 20. Ignorar la variabilidad borraría una diferencia esencial.
Una tabla de frecuencias debe conservar el tamaño de la muestra: las frecuencias absolutas suman n y las relativas suman 1, salvo pequeñas diferencias de redondeo. Cada porcentaje es la frecuencia relativa multiplicada por 100.
- Espacio muestral
- Es el conjunto de resultados elementales posibles de un experimento. En dos lanzamientos de una moneda, el orden forma parte del resultado: CC, CX, XC y XX. Si la moneda es equilibrada y los lanzamientos son independientes, los cuatro resultados son igualmente probables.
Analizar un experimento por fases
- Describe cada fase y sus resultados posibles.
- Construye un árbol o una tabla sin fusionar resultados distintos por orden.
- Comprueba el total con el principio de multiplicación: opciones de la primera fase por opciones de la segunda.
- Cuenta casos favorables y aplica Laplace solo si los resultados elementales son igualmente probables.
Exactamente una cara
Se lanza dos veces, de forma independiente, una moneda equilibrada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?
- El espacio muestral es {CC, CX, XC, XX}.
- Los casos favorables son CX y XC; son dos resultados distintos.
- Hay 2 favorables de 4 igualmente probables.
P(exactamente una cara) = 2/4 = 1/2.
Centro igual, dispersión distinta
- A = {8, 10, 12}
Media 10 y rango 12 − 8 = 4: los valores están próximos al centro.
- B = {0, 10, 20}
Media 10 y rango 20 − 0 = 20: comparte centro, pero está mucho más disperso.
Contar CX y XC como el mismo caso
Escribir solo CC, CX y XX porque ambos resultados mixtos contienen una cara y una cruz.
Conservar el orden de las fases: cara-cruz y cruz-cara son caminos distintos, así que existen cuatro resultados.
Fusionar los dos caminos cambia el denominador y rompe la equiprobabilidad. El árbol permite ver cada secuencia completa.
- Centro y dispersión responden preguntas diferentes.
- La frecuencia relativa es frecuencia absoluta dividida entre el total.
- El espacio muestral conserva el orden cuando las fases lo distinguen.
- Laplace requiere resultados igualmente probables y la conclusión no excede la muestra o el modelo.
Observa antes de calcular
¿Qué datos del esquema sirven para decidir el procedimiento y cuáles solo describen el contexto?
Comprobar la predicción
Usa únicamente las magnitudes, relaciones y unidades visibles que se conectan con la regla explicada; el reto aporta datos nuevos y se resuelve aparte.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada conjunto con su resumen.
Relaciona el nuevo lote de conjuntos.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 4,4,6,6 → Media 5; rango 2; 1,5,5,9 → Media 5; rango 8; 2,2,2,8 → Media 3,5; rango 6
La media usa todos los datos; el rango resta máximo menos mínimo.
Respuesta: 3,3,7,7 → Media 5; rango 4; 0,4,8,8 → Media 5; rango 8; 1,1,1,5 → Media 2; rango 4
Dos conjuntos pueden compartir media y diferir en rango.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Hay 8 rojas, 7 azules y 5 verdes. ¿Frecuencia relativa y porcentaje de rojas?
Hay 6 A, 9 B y 5 C. ¿Porcentaje de B?
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 8/20=0,4=40 % — Ocho entre veinte es 0,4; al multiplicar por cien obtengo cuarenta por ciento.
El total es 20; 8÷20=0,4=40 %.
Respuesta: 9/20=45 % — Las tres categorías suman veinte: nueve entre veinte son 0,45, o cuarenta y cinco por ciento.
El total vuelve a ser 20; 9÷20=0,45.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
En dos lanzamientos de moneda, calcula exactamente una cara.
Se lanza un dado y una moneda: probabilidad de par y cara.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se concluye probabilidad 1/4. → Hay 2 favorables de 4: 1/2.
Los dos órdenes, CX y XC, cuentan como resultados distintos.
Respuesta: Se escribe 3/6=1/2. → Hay 3 favorables de 12: 1/4.
El experimento tiene 6·2=12 resultados equiprobables.
Reto integrador
Para 4,4,6,6 calcula media, rango y frecuencia porcentual de 4; si eliges un dato al azar, halla P(valor>5).
Solución accesible sin interacción
- Entrega cuatro medidas comprobadas con el inventario.
Respuesta: Media 5; rango 2; 4 aparece 50 %; P(valor>5)=1/2.
Suma 20/4=5; 6−4=2; dos cuatros de cuatro y dos seises de cuatro.
Compruébalo ahora
Calcula la media y el rango de A = {8, 10, 12} y B = {0, 10, 20}.
Ver solución explicada
Respuesta: Ambas medias son 10; rangos 4 y 20
Cada suma es 30 y 30 : 3 = 10. Los rangos son 12 − 8 = 4 y 20 − 0 = 20.
En el árbol de dos lanzamientos independientes de una moneda equilibrada, ¿qué probabilidad tiene obtener exactamente una cara?
Ver solución explicada
Respuesta: 1/2
Los cuatro resultados son CC, CX, XC y XX. Dos, CX y XC, tienen exactamente una cara: 2/4 = 1/2.
¿Qué conclusión está justificada por las dos bandas de datos?
- Tienen el mismo centro, pero B presenta mayor dispersión
- Son distribuciones idénticas porque su media coincide
- A siempre producirá valores mayores que B
Ver solución explicada
Respuesta: Tienen el mismo centro, pero B presenta mayor dispersión
La media común no borra la diferencia de rango. El conjunto B se extiende de 0 a 20 y A solo de 8 a 12.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido estocástico: organización de datos, localización, dispersión, experimentos y probabilidad; secuenciación editorial de 2.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO