Ecuaciones cuadráticas y sistemas: soluciones y comprobación
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Transformar ecuaciones conservando su conjunto de soluciones y comprobarlas en el original.
- Resolver y clasificar ecuaciones cuadráticas sobre los números reales.
- Modelizar y resolver sistemas lineales, identificando una, ninguna o infinitas soluciones.
Antes de empezar
- Aplicar distributiva y factor común.
- Resolver ecuaciones lineales.
- Interpretar una pareja ordenada.
Resolver también es clasificar
Una solución hace verdadera la ecuación o todas las ecuaciones del sistema. Aplicar la misma operación admisible a ambos miembros conserva la equivalencia.
Una cuadrática puede tener dos soluciones reales, una solución real doble o ninguna solución real. Un sistema lineal puede tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones; el método no debe presuponer el caso.
- Discriminante
- En ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero, Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hay dos soluciones reales; si Δ = 0 hay una raíz real doble; si Δ < 0 no hay ninguna solución real.
Del contexto a una respuesta válida
- Define las incógnitas y traduce cada relación sin perder unidades.
- Resuelve por equivalencia, factorización, fórmula o un método de sistemas adecuado.
- Obtén todas las soluciones matemáticas.
- Sustituye en las expresiones originales y descarta solo las que incumplan una restricción explícita del contexto.
Un jardín de área 30
Los lados miden x + 2 y x + 3, y el área es 30.
- Plantea (x + 2)(x + 3) = 30.
- Desarrolla: x² + 5x + 6 = 30, luego x² + 5x − 24 = 0.
- Factoriza: (x + 8)(x − 3) = 0.
- Las raíces son −8 y 3; x = −8 produciría longitudes negativas.
En el contexto, x = 3 y los lados miden 5 y 6.
Tres tipos de sistema
- Una solución
Dos relaciones independientes se cortan en una pareja que satisface ambas.
- Ninguna o infinitas
Una contradicción como 0 = 5 indica incompatibilidad; una identidad como 0 = 0 indica relaciones equivalentes e infinitas soluciones.
Conservar una raíz imposible
Aceptar x = −8 como longitud del jardín solo porque satisface la ecuación algebraica.
Distinguir solución de la ecuación y solución del problema: la longitud exige x + 2 > 0 y x + 3 > 0.
La comprobación matemática y la validez contextual son dos puertas distintas y ambas son necesarias.
- Las transformaciones equivalentes conservan soluciones.
- El discriminante clasifica las raíces reales de una cuadrática.
- Un sistema puede tener una, ninguna o infinitas soluciones.
- Toda respuesta se comprueba en las relaciones originales y en el contexto.
Compruébalo ahora
Resuelve la ecuación del jardín e indica todas sus raíces reales.
Ver solución explicada
Respuesta: x = 3 y x = −8
x² + 5x − 24 = (x + 8)(x − 3), por lo que cada factor puede valer cero.
¿Qué raíz sirve en el jardín y qué dimensiones produce?
Ver solución explicada
Respuesta: x = 3; dimensiones 5 por 6
La raíz −8 daría lados −6 y −5. Con x = 3, los lados son 5 y 6 y su producto es 30.
Calcula los precios A y J de las dos compras de la taquilla.
Ver solución explicada
Respuesta: A = 8 € y J = 5 €
De 3A + 2J = 34 y 2A + 3J = 31 se obtiene A = 8 y J = 5. Comprobación: 24 + 10 = 34 y 16 + 15 = 31.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: ecuaciones, sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones relevantes; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Polinomios: operar, desarrollar y factorizarFunciones lineales y cuadráticas: cambio, vértice y simetríaSemejanza y movimientos: qué cambia y qué permanece