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Polinomios: operar, desarrollar y factorizar

3.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Identificar términos, coeficientes, grado y términos semejantes de un polinomio.
  • Sumar y multiplicar polinomios aplicando la distributiva a todos los términos.
  • Usar factor común e identidades notables en ambos sentidos y comprobar el resultado.

Antes de empezar

  • Aplicar la propiedad distributiva.
  • Operar potencias de la misma base.
  • Calcular valores numéricos.

La estructura decide qué se puede juntar

En 4x² − 3x + 7, cada sumando es un término. El grado es 2 porque es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero.

Solo se suman términos semejantes: 4x² y −x² comparten parte literal y forman 3x²; 4x² y 4x no se reducen porque representan magnitudes algebraicas distintas.

Factorizar
Es escribir una suma o diferencia como producto. Extraer factor común y reconocer una identidad notable son operaciones inversas a desarrollar con la distributiva.

Multiplicar y comprobar

  1. Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
  2. Respeta signos y suma exponentes solo al multiplicar potencias de la misma base.
  3. Agrupa los términos semejantes.
  4. Comprueba sustituyendo un valor sencillo en el producto original y en el polinomio obtenido.

Un rectángulo algebraico

Los lados miden x + 2 y x + 3.

  1. Divide el área en cuatro regiones: x · x, x · 3, 2 · x y 2 · 3.
  2. Las áreas son x², 3x, 2x y 6.
  3. Agrupa 3x + 2x = 5x.

(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

Desarrollar y factorizar

  • (x + 2)(x + 3)

    La distributiva desarrolla el producto como x² + 5x + 6.

  • x² + 5x + 6

    Buscar dos números que sumen 5 y multipliquen 6 permite factorizar como (x + 2)(x + 3).

Perder el doble producto

Escribir (x + 3)² = x² + 9.

Aplicar la distributiva: (x + 3)² = x² + 6x + 9.

El término 6x procede de x · 3 + 3 · x. Una identidad notable es una igualdad comprobable, no una regla para saltarse términos.

  • Los términos semejantes tienen la misma parte literal y exponentes.
  • La distributiva alcanza todos los términos de ambos factores.
  • Desarrollar y factorizar son procesos inversos.
  • Una sustitución numérica ayuda a detectar signos o términos perdidos.

Observa antes de calcular

Rectángulo de lados x más 2 y x más 3, dividido en cuatro regiones rotuladas x², 3x, 2x y 6.
Las cuatro áreas muestran por qué cada término del primer factor multiplica a cada término del segundo.

¿Qué relaciones del esquema se pueden verificar directamente y cuáles necesitarán un cálculo aparte?

Comprobar la predicción

El visual acredita sus datos rotulados; las actividades y el reto usan datos nuevos y deben resolverse sin trasladar una respuesta del dibujo.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada caso con su representación o resultado.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 4x³−2x+7 → Grado 3; tres términos; 5x²+x²−1 → 6x²−1; grado 2; dos términos; −8 → Constante; grado 0

Primero se reducen términos semejantes; el grado es el mayor exponente no nulo.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Desarrolla (x+3)(x−2).

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: x²+x−6 — Distribuyo los cuatro productos: x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6.

x²−2x+3x−6=x²+x−6.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Factoriza x²−9.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se escribe (x−3)². → Escribir (x−3)(x+3).

La identidad a²−b² tiene dos factores conjugados.

Reto integrador

Un rectángulo mide x+2 por x+5. Desarrolla su área, calcula para x=3 y recupera la factorización.

Solución accesible sin interacción
  • Conecta estructura, operación, valor y factorización.

Respuesta: x²+7x+10; para x=3, 40; factorización (x+2)(x+5).

La distributiva da x²+5x+2x+10. Con x=3: 9+21+10=40.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Suma las cuatro áreas del visual y reduce los términos semejantes.

    Ver solución explicada

    Respuesta: x² + 5x + 6

    x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 porque 3x y 2x son semejantes.

  2. Ver la ilustración

    Si x = 4, calcula el área total de dos maneras.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 42 unidades cuadradas

    Por los lados: (4 + 2)(4 + 3) = 6 · 7 = 42. Por el polinomio: 16 + 20 + 6 = 42.

  3. Ver la ilustración

    Factoriza x² + 5x + 6 apoyándote en las longitudes del visual.

    Ver solución explicada

    Respuesta: (x + 2)(x + 3)

    Los números 2 y 3 suman 5 y multiplican 6; son las extensiones de los dos lados.

Alineación curricular y fuentes

  • Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: equivalencia de expresiones y modelización de relaciones lineales y cuadráticas; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO