Polinomios: operar, desarrollar y factorizar
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Identificar términos, coeficientes, grado y términos semejantes de un polinomio.
- Sumar y multiplicar polinomios aplicando la distributiva a todos los términos.
- Usar factor común e identidades notables en ambos sentidos y comprobar el resultado.
Antes de empezar
- Aplicar la propiedad distributiva.
- Operar potencias de la misma base.
- Calcular valores numéricos.
La estructura decide qué se puede juntar
En 4x² − 3x + 7, cada sumando es un término. El grado es 2 porque es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero.
Solo se suman términos semejantes: 4x² y −x² comparten parte literal y forman 3x²; 4x² y 4x no se reducen porque representan magnitudes algebraicas distintas.
- Factorizar
- Es escribir una suma o diferencia como producto. Extraer factor común y reconocer una identidad notable son operaciones inversas a desarrollar con la distributiva.
Multiplicar y comprobar
- Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
- Respeta signos y suma exponentes solo al multiplicar potencias de la misma base.
- Agrupa los términos semejantes.
- Comprueba sustituyendo un valor sencillo en el producto original y en el polinomio obtenido.
Un rectángulo algebraico
Los lados miden x + 2 y x + 3.
- Divide el área en cuatro regiones: x · x, x · 3, 2 · x y 2 · 3.
- Las áreas son x², 3x, 2x y 6.
- Agrupa 3x + 2x = 5x.
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
Desarrollar y factorizar
- (x + 2)(x + 3)
La distributiva desarrolla el producto como x² + 5x + 6.
- x² + 5x + 6
Buscar dos números que sumen 5 y multipliquen 6 permite factorizar como (x + 2)(x + 3).
Perder el doble producto
Escribir (x + 3)² = x² + 9.
Aplicar la distributiva: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
El término 6x procede de x · 3 + 3 · x. Una identidad notable es una igualdad comprobable, no una regla para saltarse términos.
- Los términos semejantes tienen la misma parte literal y exponentes.
- La distributiva alcanza todos los términos de ambos factores.
- Desarrollar y factorizar son procesos inversos.
- Una sustitución numérica ayuda a detectar signos o términos perdidos.
Compruébalo ahora
Suma las cuatro áreas del visual y reduce los términos semejantes.
Ver solución explicada
Respuesta: x² + 5x + 6
x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 porque 3x y 2x son semejantes.
Si x = 4, calcula el área total de dos maneras.
Ver solución explicada
Respuesta: 42 unidades cuadradas
Por los lados: (4 + 2)(4 + 3) = 6 · 7 = 42. Por el polinomio: 16 + 20 + 6 = 42.
Factoriza x² + 5x + 6 apoyándote en las longitudes del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: (x + 2)(x + 3)
Los números 2 y 3 suman 5 y multiplican 6; son las extensiones de los dos lados.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: equivalencia de expresiones y modelización de relaciones lineales y cuadráticas; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Sucesiones: regla recursiva, término general y patronesEcuaciones cuadráticas y sistemas: soluciones y comprobaciónFunciones lineales y cuadráticas: cambio, vértice y simetría