Semejanza y movimientos: qué cambia y qué permanece
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Aplicar razones de semejanza y reconocer cómo escalan longitudes y áreas.
- Distinguir una isometría de una semejanza con cambio de escala.
- Transformar puntos con un vector de traslación, un giro o una simetría.
Antes de empezar
- Representar puntos en el plano.
- Calcular distancias horizontales y verticales.
- Resolver proporciones.
Transformar exige declarar los invariantes
Una isometría conserva distancias y ángulos: traslaciones, giros y simetrías cambian la posición u orientación, pero no el tamaño ni la forma.
Una semejanza conserva ángulos y proporciones, pero puede cambiar el tamaño. Si la razón es k, las longitudes se multiplican por |k| y las áreas por k².
- Vector de traslación
- El vector (u, v) indica el mismo desplazamiento para todos los puntos: (x, y) pasa a (x + u, y + v). Restar imagen menos origen recupera el vector.
Comprobar una transformación
- Identifica la transformación y sus datos: vector, centro y ángulo, eje o razón.
- Calcula la imagen de cada punto con la misma regla.
- Comprueba los invariantes: distancias y ángulos en isometrías; proporciones y ángulos en semejanzas.
- Dibuja al final y verifica que las coordenadas y la orientación coinciden con el cálculo.
Trasladar un triángulo
A(1, 1), B(3, 1) y C(1, 2) se trasladan por v = (2, 1).
- Suma 2 a cada coordenada x y 1 a cada coordenada y.
- A′ = (3, 2), B′ = (5, 2) y C′ = (3, 3).
- AB mide 2 unidades y A′B′ también mide 2.
La traslación cambia la posición y conserva todas las longitudes y ángulos.
Mover y escalar
- Traslación, giro o simetría
Son isometrías: la razón entre cada longitud final e inicial es 1.
- Semejanza de razón 2
Los ángulos se conservan, las longitudes se duplican y las áreas se multiplican por 4.
Aplicar el vector a un solo vértice
Mover A y copiar el triángulo a ojo, dejando B o C en otra dirección.
Sumar el mismo vector a cada vértice y comprobar las tres diferencias imagen menos origen.
Una traslación es global. Si los puntos reciben desplazamientos distintos, la figura se deforma y deja de ser una isometría.
- Las isometrías conservan distancias y ángulos.
- La semejanza conserva ángulos y escala longitudes por una razón común.
- Una traslación suma el mismo vector a todos los puntos.
- Coordenadas e invariantes permiten comprobar el dibujo.
Compruébalo ahora
Calcula imagen menos origen para A y recupera el vector del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: (2, 1)
A′ − A = (3 − 1, 2 − 1) = (2, 1). B y C producen la misma diferencia.
Compara las longitudes AB y A′B′.
Ver solución explicada
Respuesta: Ambas miden 2 unidades
AB va de x = 1 a x = 3 a la misma altura; A′B′ va de x = 3 a x = 5. La traslación conserva la distancia.
Aplica el mismo vector a D(−1, 4).
Ver solución explicada
Respuesta: D′(1, 5)
D′ = (−1 + 2, 4 + 1) = (1, 5).
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido espacial: semejanza, coordenadas, traslaciones, giros y simetrías; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Funciones lineales y cuadráticas: cambio, vértice y simetríaGeometría del espacio y coordenadas: vistas, áreas y volumenPolinomios: operar, desarrollar y factorizar