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Semejanza y movimientos: qué cambia y qué permanece

3.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Aplicar razones de semejanza y reconocer cómo escalan longitudes y áreas.
  • Distinguir una isometría de una semejanza con cambio de escala.
  • Transformar puntos con un vector de traslación, un giro o una simetría.

Antes de empezar

  • Representar puntos en el plano.
  • Calcular distancias horizontales y verticales.
  • Resolver proporciones.

Transformar exige declarar los invariantes

Una isometría conserva distancias y ángulos: traslaciones, giros y simetrías cambian la posición u orientación, pero no el tamaño ni la forma.

Una semejanza conserva ángulos y proporciones, pero puede cambiar el tamaño. Si la razón es k, las longitudes se multiplican por |k| y las áreas por k².

Vector de traslación
El vector (u, v) indica el mismo desplazamiento para todos los puntos: (x, y) pasa a (x + u, y + v). Restar imagen menos origen recupera el vector.

Comprobar una transformación

  1. Identifica la transformación y sus datos: vector, centro y ángulo, eje o razón.
  2. Calcula la imagen de cada punto con la misma regla.
  3. Comprueba los invariantes: distancias y ángulos en isometrías; proporciones y ángulos en semejanzas.
  4. Dibuja al final y verifica que las coordenadas y la orientación coinciden con el cálculo.

Trasladar un triángulo

A(1, 1), B(3, 1) y C(1, 2) se trasladan por v = (2, 1).

  1. Suma 2 a cada coordenada x y 1 a cada coordenada y.
  2. A′ = (3, 2), B′ = (5, 2) y C′ = (3, 3).
  3. AB mide 2 unidades y A′B′ también mide 2.

La traslación cambia la posición y conserva todas las longitudes y ángulos.

Mover y escalar

  • Traslación, giro o simetría

    Son isometrías: la razón entre cada longitud final e inicial es 1.

  • Semejanza de razón 2

    Los ángulos se conservan, las longitudes se duplican y las áreas se multiplican por 4.

Aplicar el vector a un solo vértice

Mover A y copiar el triángulo a ojo, dejando B o C en otra dirección.

Sumar el mismo vector a cada vértice y comprobar las tres diferencias imagen menos origen.

Una traslación es global. Si los puntos reciben desplazamientos distintos, la figura se deforma y deja de ser una isometría.

  • Las isometrías conservan distancias y ángulos.
  • La semejanza conserva ángulos y escala longitudes por una razón común.
  • Una traslación suma el mismo vector a todos los puntos.
  • Coordenadas e invariantes permiten comprobar el dibujo.

Observa antes de calcular

Dos tablas de coordenadas: la original contiene A, B y C con filas x igual a 1, 3, 1 e y igual a 1, 1, 2; la imagen contiene A′, B′ y C′ con filas x igual a 3, 5, 3 e y igual a 2, 2, 3; entre ambas aparece v igual a (2, 1).
A cada pareja de coordenadas se suma el mismo vector (2, 1); todas las diferencias entre puntos se conservan.

¿Qué relaciones del esquema se pueden verificar directamente y cuáles necesitarán un cálculo aparte?

Comprobar la predicción

El visual acredita sus datos rotulados; las actividades y el reto usan datos nuevos y deben resolverse sin trasladar una respuesta del dibujo.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada caso con su representación o resultado.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Factor lineal k=2 → Longitudes ×2; áreas ×4; Factor lineal k=1/2 → Longitudes ÷2; áreas ÷4; El área se multiplica por 9 → Factor lineal k=3

Las longitudes escalan por k y las áreas por k².

Comprueba 2: resuelve y justifica

¿Qué transformación es una isometría?

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: (x,y)→(x+4,y−2), una traslación — Sumar cuatro a x y restar dos a y desplaza todos los puntos igual y conserva sus distancias.

Una traslación conserva todas las distancias.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Gira (3,−2) 90° antihorario alrededor del origen.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se publica (−2,−3). → La imagen es (2,3).

−y=2 y x=3.

Reto integrador

Traslada A(0,0), B(3,0), C(0,4) con vector (2,−1); comprueba distancias y después escala por k=2.

Solución accesible sin interacción
  • Conecta coordenadas, isometría y semejanza.

Respuesta: A′(2,−1), B′(5,−1), C′(2,3); lados 3,4,5 conservados; al escalar, longitudes ×2 y área ×4.

Se suma el vector a cada punto. La traslación es isometría; la semejanza posterior aplica k y k².

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Calcula imagen menos origen para A y recupera el vector del visual.

    Ver solución explicada

    Respuesta: (2, 1)

    A′ − A = (3 − 1, 2 − 1) = (2, 1). B y C producen la misma diferencia.

  2. Ver la ilustración

    Compara las longitudes AB y A′B′.

    Ver solución explicada

    Respuesta: Ambas miden 2 unidades

    AB va de x = 1 a x = 3 a la misma altura; A′B′ va de x = 3 a x = 5. La traslación conserva la distancia.

  3. Ver la ilustración

    Aplica el mismo vector a D(−1, 4).

    Ver solución explicada

    Respuesta: D′(1, 5)

    D′ = (−1 + 2, 4 + 1) = (1, 5).

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