Funciones lineales y cuadráticas: cambio, vértice y simetría
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Conectar tabla, expresión y propiedades de funciones lineales, afines y cuadráticas.
- Interpretar pendiente, ordenada en el origen y crecimiento de una recta.
- Reconocer vértice, eje de simetría y crecimiento de una función polinómica de grado dos.
Antes de empezar
- Sustituir valores en expresiones.
- Representar pares ordenados.
- Distinguir función lineal y afín.
El tipo de cambio deja una huella
En una función afín y = mx + n, incrementos iguales de x producen incrementos constantes de y. La pendiente m mide ese cambio y n es el valor inicial.
Una función cuadrática es una función polinómica de grado dos, y = ax² + bx + c con a distinto de cero. Su gráfica es una parábola; presenta un eje de simetría y un vértice donde cambia de crecer a decrecer o al revés.
- Vértice y eje de simetría
- El vértice es el punto extremo de la parábola. Su abscisa es x = −b/(2a), y el eje de simetría es la recta vertical que pasa por ese valor de x.
Leer antes de dibujar
- Comprueba el dominio y las unidades de las variables.
- Calcula varios pares y verifica que la tabla satisface la expresión.
- En una recta, busca diferencias primeras constantes; en una cuadrática con pasos iguales, busca diferencias segundas constantes.
- Localiza cortes, vértice, simetría y tramos de crecimiento solo dentro del dominio considerado.
La parábola y = x² − 1
Estudia los valores para x = −2, −1, 0, 1 y 2.
- Los valores son 3, 0, −1, 0 y 3.
- Los pares a igual distancia de cero tienen el mismo valor.
- El menor valor de la tabla es −1 cuando x = 0.
- Aquí a = 1, b = 0 y −b/(2a) = 0.
El vértice es (0, −1) y el eje de simetría es x = 0.
Cambio constante y cambio del cambio
- y = 2x + 1
Cada aumento de una unidad en x suma 2 a y; las primeras diferencias son constantes.
- y = x² − 1
Las primeras diferencias cambian, pero las segundas diferencias son constantes; la tabla es simétrica.
Llamar cuadrática a cualquier expresión con x²
Afirmar que y = x³ + x² es una función cuadrática porque aparece x².
Comprobar el grado: una cuadrática tiene grado exactamente dos y coeficiente de x² distinto de cero.
El término de mayor grado determina la familia polinómica. En el ejemplo, el grado es tres.
- Una recta tiene tasa de cambio constante.
- Una función cuadrática es polinómica de grado dos.
- El vértice pertenece al eje de simetría.
- Tabla, expresión y gráfica deben producir los mismos pares y respetar el dominio.
Compruébalo ahora
¿Qué tabla tiene primeras diferencias constantes y cuál es ese cambio?
Ver solución explicada
Respuesta: La de y = 2x + 1; el cambio es +2
Sus valores pasan de −3 a −1, 1, 3 y 5 sumando dos cada vez.
Indica el vértice y el eje de simetría de la función cuadrática del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: Vértice (0, −1) y eje x = 0
El valor mínimo aparece en x = 0 y los valores para x y −x coinciden.
Prolonga ambas reglas hasta x = 3 y compara sus valores.
Ver solución explicada
Respuesta: La afín vale 7 y la cuadrática 8; la cuadrática es mayor por 1
2 · 3 + 1 = 7 y 3² − 1 = 8. La diferencia es 8 − 7 = 1.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: relaciones lineales y cuadráticas en tablas, gráficas y expresiones; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Sucesiones: regla recursiva, término general y patronesPolinomios: operar, desarrollar y factorizarEcuaciones cuadráticas y sistemas: soluciones y comprobación