3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Comparar dos conjuntos usando medidas de localización y dispersión.
- Asignar probabilidades teóricas cuando los resultados elementales son equiprobables.
- Interpretar frecuencia relativa y formular conclusiones prudentes desde una muestra.
Antes de empezar
- Calcular media y mediana.
- Enumerar casos posibles.
- Interpretar fracciones y porcentajes.
El centro no cuenta toda la historia
Media y mediana localizan el centro, pero dos grupos con el mismo centro pueden tener una variabilidad muy distinta. Comparar exige mirar también rango u otra medida de dispersión.
En un experimento, la frecuencia relativa observada se aproxima a una probabilidad con muchas repeticiones, pero sigue siendo un dato de la muestra. No demuestra por sí sola cómo es toda la población ni cambia la probabilidad teórica del mecanismo.
- Regla de Laplace
- Si los resultados elementales son equiprobables, P(A) = casos favorables/casos posibles. Antes de contar hay que justificar la equiprobabilidad; fichas de distinto tamaño o una ruleta desigual invalidan el cociente simple.
Comparar datos y azar
- Ordena los datos y calcula una medida de centro adecuada.
- Calcula al menos una medida de dispersión y compara ambos resultados juntos.
- En probabilidad, define experimento, espacio muestral y suposiciones de equiprobabilidad.
- Si usas una muestra, declara su tamaño y limita la conclusión a lo que los datos sostienen.
Misma media, distinta dispersión
A = {8, 9, 10, 11, 12} y B = {2, 6, 10, 14, 18}.
- Ambas sumas valen 50 y cada conjunto tiene cinco datos: media 10.
- Ambas medianas son 10.
- Rango de A: 12 − 8 = 4. Rango de B: 18 − 2 = 16.
Comparten centro, pero B está cuatro veces más disperso según el rango.
Teoría y experimento
- Bolsa conocida
Con seis fichas idénticas, tres azules, dos amarillas y una coral, P(azul) = 3/6 = 1/2.
- Treinta extracciones con reposición
Observar 18 azules da frecuencia relativa 18/30 = 0,6; es un resultado muestral, no una nueva probabilidad exacta.
Generalizar una muestra sin cautela
Concluir que el 60 % de todas las extracciones serán azules porque ocurrió 18 veces en 30 ensayos.
Informar que la muestra dio 0,6 y compararla con la probabilidad teórica 0,5, reconociendo variación aleatoria.
Una inferencia responsable distingue población, muestra, mecanismo y variabilidad.
- Centro y dispersión se interpretan juntos.
- La frecuencia relativa pertenece a una muestra de ensayos.
- Laplace exige resultados elementales equiprobables.
- Una conclusión sobre la población no puede ser más fuerte que los datos y el diseño de la muestra.
Observa antes de calcular
¿Qué relaciones del esquema se pueden verificar directamente y cuáles necesitarán un cálculo aparte?
Comprobar la predicción
El visual acredita sus datos rotulados; las actividades y el reto usan datos nuevos y deben resolverse sin trasladar una respuesta del dibujo.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su representación o resultado.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 2,4,6,8 → Media 5; rango 6; 5,5,5,5 → Media 5; rango 0; 0,0,10,10 → Media 5; rango 10
La misma media no implica la misma dispersión.
Respuesta: 1,3,5 → Media 3; rango 4; 3,3,3 → Media 3; rango 0; −3,3,9 → Media 3; rango 12
La misma media no implica la misma dispersión.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Una bolsa tiene 5 rojas, 3 azules y 2 verdes. Calcula P(no verde).
En un dado justo, calcula P(número primo).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 8/10=0,8 — Hay diez fichas en total. Las cinco rojas y tres azules cumplen no ser verdes, así que cuento ocho casos favorables y divido entre diez: 0,8.
Hay ocho fichas no verdes de diez.
Respuesta: 3/6=1/2 — En las seis caras del dado, dos, tres y cinco tienen exactamente dos divisores positivos. Son tres resultados favorables de seis, con probabilidad un medio.
Los primos entre 1 y 6 son 2,3,5: tres casos de seis.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
En una muestra de 20, 14 prefieren A.
Una moneda da 26 caras en 40 lanzamientos.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se afirma que la probabilidad verdadera de toda la población es exactamente 0,7. → 0,7 describe la muestra y puede estimar, no fijar exactamente, la población.
Una muestra no elimina la incertidumbre sobre la población.
Respuesta: Se afirma que la moneda está demostrada como injusta. → 0,65 es una frecuencia muestral; por sí sola no demuestra que la moneda sea injusta.
Una diferencia muestral no reemplaza automáticamente el modelo teórico.
Reto integrador
Para 4,6,6,8,11 calcula media, mediana y rango. Interpreta 3 éxitos de 5 y compáralos con probabilidad teórica 0,5.
Solución accesible sin interacción
- Entrega medidas, frecuencia y una conclusión prudente.
Respuesta: Media 7, mediana 6, rango 7; frecuencia 0,6; no reemplaza por sí sola la probabilidad 0,5.
La suma es 35; 35/5=7. Ordenados, el central es 6 y 11−4=7. La frecuencia es 3/5.
Compruébalo ahora
Calcula los rangos de A y B y compara la dispersión.
Ver solución explicada
Respuesta: Rango A = 4; rango B = 16; B tiene cuatro veces el rango de A
12 − 8 = 4 y 18 − 2 = 16. El cociente 16/4 es 4.
¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha que no sea azul?
Ver solución explicada
Respuesta: 1/2
Hay tres fichas no azules de seis idénticas: 3/6 = 1/2.
En 30 extracciones con reposición salen 18 azules. Calcula la frecuencia relativa y explica si reemplaza la probabilidad teórica.
Ver solución explicada
Respuesta: 0,6; no reemplaza la probabilidad teórica 0,5
18/30 = 0,6 es el resultado de esa muestra. La bolsa conserva tres fichas azules de seis y P(azul) = 1/2.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido estocástico: localización, dispersión, frecuencia relativa, Laplace e inferencia desde muestras; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO