3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar un cuerpo tridimensional con vistas, dimensiones y representaciones planas.
- Calcular área total y volumen conservando unidades cuadradas y unidades cúbicas.
- Localizar puntos y calcular desplazamientos sencillos en un plano de coordenadas.
Antes de empezar
- Calcular áreas de rectángulos.
- Interpretar escalas y coordenadas.
- Distinguir longitud, área y volumen.
Una representación conserva datos, no volumen
Una vista frontal, lateral o superior proyecta un cuerpo sobre un plano. Es útil para localizar dimensiones, pero el dibujo por sí solo no mide el objeto si no declara escala o cotas.
El área total suma superficies y se expresa en unidades cuadradas. El volumen mide espacio interior y se expresa en unidades cúbicas. Que ambos usen las mismas longitudes no permite intercambiar fórmulas ni unidades.
- Ortoedro
- Es un prisma rectangular con tres dimensiones perpendiculares a, b y c. Su volumen es abc y su área total es 2(ab + ac + bc).
Resolver desde el modelo
- Identifica qué magnitud pide el problema y anota las unidades.
- Localiza las tres dimensiones independientes, sin medir a ojo el dibujo.
- Para volumen multiplica a · b · c; para área total suma las tres parejas de caras y duplica.
- Comprueba la unidad y contrasta el resultado con una estimación del tamaño.
Una caja de almacén
El ortoedro mide 4 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto.
- Volumen: 4 · 3 · 2 = 24.
- Áreas de una cara de cada pareja: 4 · 3 = 12, 4 · 2 = 8 y 3 · 2 = 6.
- Área total: 2(12 + 8 + 6) = 52.
El volumen es 24 m³ y el área total es 52 m².
Cuerpo y plano
- Caja 4 × 3 × 2
Necesita tres dimensiones y permite calcular superficie y volumen.
- Plano P(1,1), Q(4,1)
Usa dos coordenadas y describe una distancia horizontal de 3 unidades.
Confundir área y volumen
Escribir 24 m² para el espacio interior de la caja.
Escribir 24 m³ porque se multiplican tres longitudes; reservar m² para las caras.
El exponente de la unidad registra cuántas dimensiones se multiplican.
- Las vistas planas ayudan a interpretar un cuerpo, pero no sustituyen las cotas.
- El área total suma todas las caras en unidades cuadradas.
- El volumen de un ortoedro es largo por ancho por alto en unidades cúbicas.
- Las coordenadas permiten localizar y calcular desplazamientos comprobables.
Observa antes de calcular
¿Qué relaciones del esquema se pueden verificar directamente y cuáles necesitarán un cálculo aparte?
Comprobar la predicción
El visual acredita sus datos rotulados; las actividades y el reto usan datos nuevos y deben resolverse sin trasladar una respuesta del dibujo.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su representación o resultado.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Prisma 4×3×2 → Vistas: 4×3, 4×2 y 3×2; Cilindro r=2,h=5 → Vista superior circular r=2; lateral rectangular 4×5; Cubo de lado 3 → Tres vistas cuadradas 3×3
Cada vista conserva dos dimensiones de la figura tridimensional.
Respuesta: Prisma 6×2×1 → Vistas: 6×2, 6×1 y 2×1; Cilindro r=3,h=4 → Vista superior circular r=3; lateral rectangular 6×4; Cubo de lado 5 → Tres vistas cuadradas 5×5
Cada vista conserva dos dimensiones de la figura tridimensional.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Para un prisma 5×4×3, calcula volumen y área total.
Para un cilindro r=3,h=4, calcula volumen y área total.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 60 u³ y 94 u² — Multiplico 5·4·3 para el volumen y sumo las seis caras: 2(20+15+12).
V=5·4·3=60; AT=2(20+15+12)=94.
Respuesta: 36π u³ y 42π u² — La base tiene área nueve pi; por altura cuatro, el volumen es 36π. Para el área sumo el lateral 24π y las dos bases 18π, con total 42π.
V=π·9·4=36π; AT=2π·3·4+2π·9=42π.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Describe el desplazamiento de P(−2,3) a Q(4,3).
Describe el desplazamiento de R(1,−4) a S(1,2).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se publica un desplazamiento vertical de 6. → Es horizontal: 6 unidades a la derecha.
Si y no cambia, el movimiento ocurre sobre el eje x.
Respuesta: Se publica un desplazamiento horizontal de 6. → Es vertical: 6 unidades arriba.
Si x no cambia, el movimiento ocurre sobre el eje y.
Reto integrador
Un prisma mide 6×4×2. Da sus vistas principales, volumen y área total; relaciona su longitud 6 con P(−1,2),Q(5,2).
Solución accesible sin interacción
- Conecta representación, medida y coordenadas.
Respuesta: Vistas 6×4,6×2,4×2; V=48 u³; AT=88 u²; PQ=6 horizontal.
V=6·4·2=48; AT=2(24+12+8)=88; Qx−Px=6 y la y se conserva.
Compruébalo ahora
Calcula el volumen de la caja del visual.
Ver solución explicada
Respuesta: 24 m³
V = 4 · 3 · 2 = 24. Se multiplican tres longitudes, por eso la unidad es cúbica.
Calcula el área total de la misma caja.
Ver solución explicada
Respuesta: 52 m²
A = 2(4 · 3 + 4 · 2 + 3 · 2) = 2(12 + 8 + 6) = 52 m².
¿Qué distancia horizontal separa P de Q y qué distancia vertical separa Q de R?
Ver solución explicada
Respuesta: PQ = 3 unidades y QR = 2 unidades
PQ comparte y = 1 y cambia de x = 1 a 4; QR comparte x = 4 y cambia de y = 1 a 3.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentidos de la medida y espacial: representaciones tridimensionales, áreas, volúmenes y coordenadas; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO