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Sucesiones: regla recursiva, término general y patrones

3.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Describir una sucesión con una tabla, una regla recursiva y, cuando sea posible, un término general.
  • Calcular términos de una progresión aritmética usando aₙ = a₁ + (n−1)d.
  • Distinguir un crecimiento aritmético de un patrón cuadrático mediante diferencias.

Antes de empezar

  • Sustituir valores en expresiones.
  • Calcular diferencias.
  • Leer patrones visuales.

Posición y valor son cosas distintas

Una sucesión asigna un término a cada posición natural. El subíndice n indica la posición; aₙ es el valor que ocupa ese lugar.

Una regla recursiva explica cómo obtener cada término a partir de los anteriores. Un término general permite llegar directamente a cualquier posición, pero no todas las sucesiones sencillas tienen una fórmula lineal.

Progresión aritmética
Es una sucesión cuya diferencia d entre términos consecutivos es constante. Su término general es aₙ = a₁ + (n−1)d porque desde la posición 1 hasta la n hay exactamente n−1 saltos.

Investigar una sucesión

  1. Anota posición y término en dos filas.
  2. Calcula primeras diferencias entre términos consecutivos.
  3. Si son constantes, identifica a₁ y d y usa aₙ = a₁ + (n−1)d.
  4. Comprueba la fórmula en varias posiciones; si las diferencias no son constantes, busca otra estructura sin forzar una regla lineal.

Cuatro construcciones

Las etapas usan 4, 7, 10 y 13 fichas.

  1. Las primeras diferencias son 3, 3 y 3.
  2. a₁ = 4 y d = 3.
  3. aₙ = 4 + (n−1) · 3 = 3n + 1.
  4. Para n = 4: 3 · 4 + 1 = 13, que coincide con el dibujo.

La regla explícita es aₙ = 3n + 1 y la recursiva es a₁ = 4, aₙ = aₙ₋₁ + 3.

Aritmética y cuadrática

  • 4, 7, 10, 13

    Tiene primeras diferencias constantes; su término general es lineal en n.

  • 1, 4, 9, 16

    Las primeras diferencias son 3, 5 y 7; es un patrón cuadrático, aₙ = n².

Contar n saltos

Escribir aₙ = a₁ + nd y obtener 16 fichas en la cuarta etapa.

Usar n−1 saltos: a₄ = 4 + 3 · 3 = 13.

El primer término ya está colocado. Solo se avanza desde la posición 1 hasta la posición n.

  • La regla recursiva depende de términos anteriores; el término general depende de n.
  • En una progresión aritmética, la primera diferencia es constante.
  • La fórmula usa n−1 saltos desde a₁.
  • Un patrón cuadrático no debe forzarse dentro de una fórmula aritmética.

Observa antes de calcular

Cuatro construcciones numeradas usan 4, 7, 10 y 13 fichas idénticas; cada nueva etapa añade exactamente tres fichas destacadas.
La cantidad crece de tres en tres: el dibujo hace visible la diferencia constante y los n menos uno saltos.

¿Qué relaciones del esquema se pueden verificar directamente y cuáles necesitarán un cálculo aparte?

Comprobar la predicción

El visual acredita sus datos rotulados; las actividades y el reto usan datos nuevos y deben resolverse sin trasladar una respuesta del dibujo.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada caso con su representación o resultado.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 5,8,11,14,… → aₙ=3n+2; 2,6,12,20,… → aₙ=n(n+1); 81,27,9,3,… → a₁=81; aₙ=aₙ₋₁/3

Una regla explícita produce cada posición; una recursiva parte de un valor y transforma el anterior.

Comprueba 2: resuelve y justifica

En una progresión con a₁=7 y d=4, calcula a₂₀.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 83 — Del primero al vigésimo hay diecinueve diferencias: 7 + 19 × 4 = 83.

a₂₀=7+19·4=83.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Clasifica 1,4,9,16,…

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Se concluye que es aritmética porque siempre aumenta. → No es aritmética; es cuadrática y sigue 25.

Una progresión aritmética exige diferencias constantes, no solo crecimiento.

Reto integrador

Una construcción sigue aₙ=4n+1. Da a₁, a₁₀, una regla recursiva y clasifica el patrón por diferencias.

Solución accesible sin interacción
  • Conecta forma explícita, recursiva, término y clasificación.

Respuesta: a₁=5, a₁₀=41; aₙ=aₙ₋₁+4; progresión aritmética.

a₁=4·1+1=5 y a₁₀=40+1=41; la diferencia es siempre 4.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Si continúa el patrón del visual, ¿cuántas fichas tendrá la etapa 10?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 31 fichas

    a₁₀ = 4 + (10−1) · 3 = 4 + 27 = 31.

  2. Ver la ilustración

    Escribe una regla recursiva para las construcciones.

    Ver solución explicada

    Respuesta: a₁ = 4 y aₙ = aₙ₋₁ + 3

    La primera etapa tiene cuatro fichas y cada etapa posterior añade tres a la anterior.

  3. Ver la ilustración

    Compara con 1, 4, 9, 16: ¿qué término sigue y por qué ese patrón no es aritmético?

    Ver solución explicada

    Respuesta: 25; no es aritmético porque sus primeras diferencias no son constantes

    Son cuadrados: 1², 2², 3², 4² y 5². Las diferencias 3, 5, 7 y 9 cambian.

Alineación curricular y fuentes