Sucesiones: regla recursiva, término general y patrones
3.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Describir una sucesión con una tabla, una regla recursiva y, cuando sea posible, un término general.
- Calcular términos de una progresión aritmética usando aₙ = a₁ + (n−1)d.
- Distinguir un crecimiento aritmético de un patrón cuadrático mediante diferencias.
Antes de empezar
- Sustituir valores en expresiones.
- Calcular diferencias.
- Leer patrones visuales.
Posición y valor son cosas distintas
Una sucesión asigna un término a cada posición natural. El subíndice n indica la posición; aₙ es el valor que ocupa ese lugar.
Una regla recursiva explica cómo obtener cada término a partir de los anteriores. Un término general permite llegar directamente a cualquier posición, pero no todas las sucesiones sencillas tienen una fórmula lineal.
- Progresión aritmética
- Es una sucesión cuya diferencia d entre términos consecutivos es constante. Su término general es aₙ = a₁ + (n−1)d porque desde la posición 1 hasta la n hay exactamente n−1 saltos.
Investigar una sucesión
- Anota posición y término en dos filas.
- Calcula primeras diferencias entre términos consecutivos.
- Si son constantes, identifica a₁ y d y usa aₙ = a₁ + (n−1)d.
- Comprueba la fórmula en varias posiciones; si las diferencias no son constantes, busca otra estructura sin forzar una regla lineal.
Cuatro construcciones
Las etapas usan 4, 7, 10 y 13 fichas.
- Las primeras diferencias son 3, 3 y 3.
- a₁ = 4 y d = 3.
- aₙ = 4 + (n−1) · 3 = 3n + 1.
- Para n = 4: 3 · 4 + 1 = 13, que coincide con el dibujo.
La regla explícita es aₙ = 3n + 1 y la recursiva es a₁ = 4, aₙ = aₙ₋₁ + 3.
Aritmética y cuadrática
- 4, 7, 10, 13
Tiene primeras diferencias constantes; su término general es lineal en n.
- 1, 4, 9, 16
Las primeras diferencias son 3, 5 y 7; es un patrón cuadrático, aₙ = n².
Contar n saltos
Escribir aₙ = a₁ + nd y obtener 16 fichas en la cuarta etapa.
Usar n−1 saltos: a₄ = 4 + 3 · 3 = 13.
El primer término ya está colocado. Solo se avanza desde la posición 1 hasta la posición n.
- La regla recursiva depende de términos anteriores; el término general depende de n.
- En una progresión aritmética, la primera diferencia es constante.
- La fórmula usa n−1 saltos desde a₁.
- Un patrón cuadrático no debe forzarse dentro de una fórmula aritmética.
Compruébalo ahora
Si continúa el patrón del visual, ¿cuántas fichas tendrá la etapa 10?
Ver solución explicada
Respuesta: 31 fichas
a₁₀ = 4 + (10−1) · 3 = 4 + 27 = 31.
Escribe una regla recursiva para las construcciones.
Ver solución explicada
Respuesta: a₁ = 4 y aₙ = aₙ₋₁ + 3
La primera etapa tiene cuatro fichas y cada etapa posterior añade tres a la anterior.
Compara con 1, 4, 9, 16: ¿qué término sigue y por qué ese patrón no es aritmético?
Ver solución explicada
Respuesta: 25; no es aritmético porque sus primeras diferencias no son constantes
Son cuadrados: 1², 2², 3², 4² y 5². Las diferencias 3, 5, 7 y 9 cambian.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas · cursos de primero a tercero de ESO · sentido algebraico: patrones, pautas, regularidades y regla de formación; secuenciación editorial de 3.º · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Potencias y notación científica: escala y precisiónPolinomios: operar, desarrollar y factorizarFunciones lineales y cuadráticas: cambio, vértice y simetría