4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Transformar ecuaciones e inecuaciones conservando su conjunto solución.
- Clasificar ecuaciones y sistemas por su número de soluciones.
- Comprobar soluciones en el planteamiento original y descartar valores no válidos.
Antes de empezar
- Aplicar la misma operación en ambos miembros.
- Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas sencillas.
- Representar intervalos en la recta real.
Resolver es describir todos los valores válidos
El conjunto solución puede tener un valor, varios, ninguno, infinitos puntos aislados o un intervalo. La forma de escribirlo depende del problema: una ecuación cuadrática puede dar dos raíces; una identidad, todos los reales admitidos; una inecuación, un tramo de la recta.
Cada transformación debe conservar equivalencia. Sumar la misma cantidad o multiplicar por un número no nulo conserva una ecuación; elevar al cuadrado o multiplicar por una expresión que podría valer cero exige comprobar al final.
- Sistema
- Es un conjunto de condiciones que deben cumplirse simultáneamente. Su solución es la intersección de los conjuntos solución: un sistema lineal de dos variables puede tener un punto, ninguno o infinitos.
Resolver y auditar el resultado
- Fija restricciones del enunciado y de las expresiones.
- Elige una transformación equivalente y escribe qué haces en ambos miembros.
- En una inecuación, si multiplicas o divides por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
- Sustituye cada candidato en la ecuación o en todas las ecuaciones del sistema y expresa el conjunto solución.
Un sistema con solución única
Resuelve 2x + y = 7 y x − y = 2.
- Suma las ecuaciones: 3x = 9, luego x = 3.
- Sustituye en x − y = 2: 3 − y = 2, luego y = 1.
- Comprueba: 2·3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2.
Conjunto solución: {(3, 1)}.
Profundidad de cada opción
- Matemáticas A
Trabaja relaciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa, con ecuaciones lineales/cuadráticas, sistemas e inecuaciones lineales.
- Matemáticas B
Amplía la discusión simbólica a ecuaciones, sistemas e inecuaciones lineales y no lineales sencillas.
Cambiar el signo sin justificarlo
De −2x < 6 concluir x < −3.
Al dividir por −2, el signo cambia de sentido: x > −3.
Multiplicar una desigualdad por un negativo invierte el orden de los números.
- El objetivo es hallar todo el conjunto solución.
- Un sistema exige cumplir todas sus ecuaciones.
- La desigualdad solo invierte su signo al multiplicar o dividir por una cantidad negativa.
- Comprobar en el sistema original detecta soluciones extrañas y errores de cálculo.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 3x−6=9 → x=5; −2x+4>10 → x<−3; x²−9=0 → x=−3 o x=3
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Respuesta: 4x+1=13 → x=3; −3x≤6 → x≥−2; x²−5x=0 → x=0 o x=5
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Clasifica el sistema x+y=4, 2x+2y=8.
Clasifica el sistema x+y=4, x+y=5.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Infinitas soluciones — Al multiplicar x+y=4 por dos aparece 2x+2y=8. Las dos ecuaciones imponen la misma condición; cada punto de esa recta es una solución del sistema.
La segunda ecuación es el doble de la primera.
Respuesta: Ninguna solución — Las dos ecuaciones piden valores distintos para la misma suma x+y. Ningún par de números puede hacerla igual a cuatro y a cinco a la vez.
La misma suma no puede valer 4 y 5 a la vez.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Resuelve √(x+1)=x−1 por elevación al cuadrado.
Clasifica 1/(x−2)=1/(x−2).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se aceptan ambas sin sustituir. → Solo x=3 vale; x=0 produce 1=−1 en la ecuación original.
Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas.
Respuesta: Se concluye que vale para todo real. → Vale para todo x real excepto x=2, donde no está definida.
Una identidad racional conserva las restricciones originales.
Reto integrador
Resuelve −2x+6≥0, x²−5x+6=0 y el sistema x+y=5, x−y=1; comprueba cada solución.
Solución accesible sin interacción
- Entrega intervalo, clasificación y comprobación del sistema.
Respuesta: x≤3; raíces 2 y 3; sistema (3,2).
La inecuación cambia de sentido al dividir por −2; la cuadrática factoriza (x−2)(x−3); sumando el sistema, 2x=6.
Compruébalo ahora
Resuelve −3x + 6 ≥ 15 y expresa el intervalo.
Ver solución explicada
Respuesta: x ≤ −3; (−∞, −3]
−3x ≥ 9. Al dividir por −3, cambia de sentido: x ≤ −3.
¿Cuántas soluciones reales tiene x² − 5x + 6 = 0?
- Ninguna
- Una
- Dos
- Infinitas
Ver solución explicada
Respuesta: Dos
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), de modo que x = 2 o x = 3.
Comprueba si (3, 1) resuelve el sistema 2x + y = 7, x − y = 2.
Ver solución explicada
Respuesta: Sí
Satisface ambas ecuaciones: 2·3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentido algebraico: ecuaciones lineales y cuadráticas, sistemas e inecuaciones lineales; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · sentido algebraico: ecuaciones, sistemas e inecuaciones lineales y no lineales sencillas; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO