4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar contexto, tabla, gráfica y fórmula de una función.
- Determinar dominio, recorrido, cortes, crecimiento y extremos a partir de una representación.
- Calcular e interpretar la tasa de variación media en un intervalo.
Antes de empezar
- Representar pares ordenados.
- Calcular la pendiente de una recta.
- Evaluar expresiones algebraicas.
Una función conecta entradas y salidas
A cada entrada admitida del dominio le corresponde una única salida. El recorrido reúne las salidas que realmente se obtienen. Un contexto puede restringir ambos: una fórmula válida para todos los reales puede representar solo tiempos no negativos.
Tabla, gráfica y expresión muestran la misma relación desde perspectivas diferentes. La tabla aporta valores; la gráfica hace visible el cambio; la fórmula permite calcular y generalizar.
- Tasa de variación media
- Entre x = a y x = b, con a ≠ b, es [f(b) − f(a)]/(b − a). Mide el cambio medio de la salida por unidad de entrada y siempre debe interpretarse con sus unidades y su intervalo.
Leer una función completa
- Identifica qué representa cada variable y sus unidades.
- Fija dominio y recorrido dentro del contexto.
- Localiza cortes, intervalos de crecimiento o decrecimiento y valores extremos visibles.
- Calcula la tasa de variación media con dos extremos declarados y contrasta el resultado en tabla, gráfica o fórmula.
La tasa no es constante en x²
Para f(x) = x², compara [0, 1] y [1, 2].
- En [0, 1]: (1 − 0)/(1 − 0) = 1.
- En [1, 2]: (4 − 1)/(2 − 1) = 3.
- El intervalo tiene la misma longitud, pero el cambio vertical aumenta.
La función crece en ambos tramos con tasas medias 1 y 3.
Tres patrones de cambio
- Lineal
Suma la misma cantidad por cada unidad: la tasa es constante.
- Cuadrático
Las diferencias primeras cambian de forma regular; su tasa depende del intervalo.
- Exponencial
Multiplica por un factor constante cuando la entrada avanza en pasos iguales.
- Matemáticas A y Matemáticas B
Ambas estudian funciones y tasas; B generaliza relaciones entre cantidades y amplía los contextos matemáticos.
Mirar solo la forma ascendente
Decir que toda gráfica que sube es una función exponencial.
Comprobar si en pasos iguales existe un factor multiplicativo constante.
Una recta creciente, una parábola y una exponencial pueden subir, pero siguen leyes de cambio distintas.
- Dominio son entradas admitidas; recorrido, salidas obtenidas.
- Una función asigna una única salida a cada entrada.
- La tasa de variación media depende de dos extremos y de sus unidades.
- Lineal, cuadrática y exponencial se distinguen por su patrón de cambio, no solo por el aspecto.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Cambio aditivo constante → Modelo lineal o afín; Factor multiplicativo constante → Modelo exponencial; Segundas diferencias constantes → Modelo cuadrático
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Respuesta: y=3x+2 → Modelo afín; y=2^x → Modelo exponencial; y=x²−4 → Modelo cuadrático
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Interpreta f(x)=−(x−2)²+5.
Interpreta g(x)=(x+1)²−4.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Máximo (2,5) y recorrido y≤5 — El término cuadrado no es negativo; al restarlo de cinco, el mayor valor queda en x=2.
El coeficiente negativo abre hacia abajo y la forma de vértice fija (2,5).
Respuesta: Mínimo (−1,−4) y recorrido y≥−4 — El cuadrado alcanza cero en x=−1 y la función vale entonces −4, su mínimo.
Abre hacia arriba y el vértice es (−1,−4).
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Calcula la TVM de f(x)=x² entre 1 y 4.
Calcula la TVM de f(x)=2x+3 entre −2 y 3.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se resta 4−1 en el numerador. → Hay que usar f(4)−f(1)=16−1; TVM=15/3=5.
La tasa compara valores de la función, no los extremos solos.
Respuesta: Se divide 10 entre 2−(−3). → El intervalo mide 3−(−2)=5; TVM=10/5=2.
El denominador conserva los extremos originales en el orden b−a.
Reto integrador
Compara h(x)=2^x y q(x)=x² en [1,3]: valores extremos, TVM y tipo de modelo.
Solución accesible sin interacción
- Relaciona fórmula, valores, tasa y comparación.
Respuesta: h: 2→8, TVM 3, exponencial; q: 1→9, TVM 4, cuadrático; q tiene mayor TVM en ese intervalo.
Las tasas son (8−2)/2=3 y (9−1)/2=4. Un factor constante caracteriza h y segundas diferencias, q.
Compruébalo ahora
Para f(x) = x², calcula la tasa de variación media entre x = 2 y x = 5.
Ver solución explicada
Respuesta: 7
[f(5) − f(2)]/(5 − 2) = (25 − 4)/3 = 21/3 = 7.
¿Qué modelo corresponde a una cantidad que se duplica en cada paso igual?
- Lineal
- Cuadrático
- Exponencial
Ver solución explicada
Respuesta: Exponencial
Duplicar en cada paso significa aplicar un factor multiplicativo constante 2.
Una función describe la altura de una pelota desde que se lanza hasta que toca el suelo. ¿Puede incluir tiempos negativos en su dominio contextual?
Ver solución explicada
Respuesta: No
La fórmula podría aceptar otros números, pero el fenómeno empieza en el lanzamiento; el dominio contextual comienza en t = 0.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentidos de la medida y algebraico: cambio, tasas y funciones en situaciones de la vida cotidiana; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · sentidos de la medida y algebraico: relaciones entre cantidades, tasas y funciones en contextos diversos; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO