Números reales e intervalos: ordenar, aproximar y combinar
4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Clasificar y comparar números racionales e irracionales dentro de los reales.
- Traducir desigualdades, intervalos y representaciones sobre la recta real.
- Calcular uniones e intersecciones y controlar la precisión de una aproximación.
Antes de empezar
- Ordenar enteros, fracciones y decimales.
- Interpretar los signos <, ≤, > y ≥.
- Distinguir valor exacto y aproximado.
Una recta continua reúne números de naturalezas distintas
Los reales contienen los naturales, enteros, racionales y números irracionales. Un racional puede escribirse como fracción de enteros con denominador no nulo; su decimal es exacto o periódico. Los números irracionales no admiten esa fracción y tienen un decimal infinito no periódico.
Clasificar no cambia el valor. Por ejemplo, −3 es entero, racional y real a la vez; √2 es irracional y real. En Matemáticas A y Matemáticas B se usan números reales con la precisión que exige cada problema.
- Intervalo
- Es un conjunto de números reales comprendidos entre extremos. Un intervalo cerrado incluye el extremo y usa corchete; un intervalo abierto lo excluye y usa paréntesis. Con infinito siempre se usa paréntesis porque ∞ no es un número que pueda pertenecer al conjunto.
Traducir y combinar conjuntos
- Localiza los extremos y decide si cada igualdad está permitida.
- Escribe corchete cuando el extremo pertenece y paréntesis cuando no pertenece.
- Para la intersección conserva solo la zona común; para la unión reúne todas las zonas cubiertas.
- Comprueba con un valor interior, cada extremo y un valor exterior.
Intersección de dos condiciones
Combina A = [−2, 4) y B = (1, 6].
- A permite −2 ≤ x < 4.
- B permite 1 < x ≤ 6.
- Los números que cumplen ambas condiciones son mayores que 1 y menores que 4.
A ∩ B = (1, 4).
Mismo saber, distinto énfasis
- Matemáticas A
Usa intervalos y aproximaciones para tomar decisiones en situaciones contextualizadas y analizar el error cometido.
- Matemáticas B
Profundiza además en las relaciones entre conjuntos numéricos y en distintas representaciones exactas de una cantidad.
Confundir paréntesis con número excluido por dibujo
Escribir [2, 5] para la condición 2 < x ≤ 5.
Escribir (2, 5], porque 2 queda fuera y 5 queda dentro.
La pertenencia de cada extremo la decide la desigualdad, no la forma visual que recordemos.
- Los racionales y los números irracionales forman los reales.
- Abierto excluye; cerrado incluye.
- La intersección exige cumplir ambas condiciones y la unión, al menos una.
- Una aproximación debe declarar su precisión y no reemplaza al valor exacto.
Compruébalo ahora
En la vía de extremos cerrados del visual se representa [−3, 2]. ¿Pertenecen −3 y 2?
Ver solución explicada
Respuesta: Sí, pertenecen los dos.
Los corchetes y los extremos cerrados indican que ambos límites están incluidos.
Imagina que los dos tramos solapados son A = [−1, 5) y B = (2, 7]. Calcula A ∩ B.
Ver solución explicada
Respuesta: (2, 5)
La zona común exige x > 2 por B y x < 5 por A; ninguno de esos dos extremos entra.
¿Qué número real no puede escribirse como fracción de enteros?
- 0,125
- −7
- √3
- 0,272727…
Ver solución explicada
Respuesta: √3
0,125 y 0,272727… son racionales, y −7 = −7/1. √3 es irracional.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentido numérico: números reales, operaciones, orden e intervalos; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · sentido numérico: representaciones, relaciones entre conjuntos, orden e intervalos; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
Cuando lo tengas claro
Potencias y radicales: equivalencias con condicionesEcuaciones, sistemas e inecuaciones: soluciones y comprobaciónFunciones y tasas de variación: describir cómo cambia una relación