4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Reconocer y justificar expresiones algebraicas equivalentes.
- Desarrollar y factorizar mediante distributiva, factor común e identidades notables.
- Simplificar una fracción algebraica conservando las restricciones de su denominador original.
Antes de empezar
- Reducir términos semejantes.
- Aplicar la propiedad distributiva.
- Factorizar números enteros.
Transformar no significa alterar
Desarrollar convierte un producto en suma mediante la distributiva; factorizar recorre el camino inverso. Si los pasos son válidos, ambas formas producen el mismo valor para toda sustitución admitida.
La forma desarrollada facilita sumar y reconocer coeficientes. La factorizada hace visibles ceros y factores comunes. En una fracción algebraica, el denominador no puede ser cero y esa restricción se conserva aunque después se simplifique.
- Identidad notable
- Es una igualdad válida para todos los valores permitidos, como (a + b)² = a² + 2ab + b² o a² − b² = (a − b)(a + b). No es una receta aislada: se obtiene aplicando la distributiva.
Simplificar una fracción algebraica
- Anota primero los valores que hacen cero cualquier denominador original.
- Factoriza numerador y denominador.
- Cancela factores completos comunes, nunca términos separados por suma o resta.
- Conserva los valores excluidos y comprueba la equivalencia con un valor permitido.
Reducir sin recuperar x = 3
Simplifica (x² − 9)/(x − 3).
- El denominador original obliga a x ≠ 3.
- Factoriza x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Para x ≠ 3 se cancela el factor x − 3.
La expresión simplificada es x + 3, con la restricción x ≠ 3.
Matemáticas A y Matemáticas B
- Matemáticas A
Usa formas equivalentes para modelizar y resolver relaciones lineales y cuadráticas ligadas a situaciones.
- Matemáticas B
Profundiza en el lenguaje simbólico y en transformaciones que sostienen ecuaciones y funciones también en contextos matemáticos.
Cancelar términos en lugar de factores
En (x + 3)/x, tachar las x y concluir que vale 3.
No se puede cancelar: x + 3 es una suma, no un producto con factor x.
Solo se cancelan factores que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.
- La distributiva justifica desarrollo y factorización.
- Una identidad notable vale para todos los valores admitidos.
- Una fracción algebraica exige registrar valores excluidos.
- Cancelar factores no permite cancelar términos de una suma.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: (x+3)² → x²+6x+9; x²−25 → (x−5)(x+5); 4x²−12x → 4x(x−3)
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Respuesta: (x−2)² → x²−4x+4; x²−49 → (x−7)(x+7); 6x²+9x → 3x(2x+3)
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Simplifica (x²−9)/(x−3) conservando restricciones.
Simplifica (x²+5x)/x conservando restricciones.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: x+3, con x≠3 — Factorizo x²−9=(x−3)(x+3) y cancelo x−3. La expresión original no admite x=3, por lo que la simplificación x+3 conserva esa restricción.
Se factoriza (x−3)(x+3) y se conserva x≠3.
Respuesta: x+5, con x≠0 — Extraigo el factor común x: x²+5x=x(x+5). Divido por x solo cuando x no es cero, así que queda x+5 con la misma exclusión del cero.
Se extrae x y se cancela solo bajo x≠0.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Revisa el desarrollo de (a+b)².
Revisa (x+2)/x=2.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se escribe a²+b². → Es a²+2ab+b²: aparecen ab dos veces.
La distributiva produce cuatro términos antes de reducir.
Respuesta: Se concluye 2 para x≠0. → Es 1+2/x, con x≠0.
Solo el término x del numerador se divide exactamente por x.
Reto integrador
Simplifica [(x+4)²−(x²−16)]/(x+4) e indica la restricción original.
Solución accesible sin interacción
- Justifica equivalencia, factorización, cancelación y restricción.
Respuesta: 8, con x≠−4.
El numerador es x²+8x+16−x²+16=8x+32=8(x+4); se cancela con x+4 conservando x≠−4.
Compruébalo ahora
Siguiendo el mosaico, desarrolla (x + 4)².
Ver solución explicada
Respuesta: x² + 8x + 16
(x + 4)(x + 4) = x² + 4x + 4x + 16 = x² + 8x + 16.
Factoriza 3x² − 12x.
Ver solución explicada
Respuesta: 3x(x − 4)
El factor común máximo es 3x: 3x² − 12x = 3x(x − 4).
Simplifica (x² − 16)/(x − 4) y conserva la condición de existencia.
Ver solución explicada
Respuesta: x + 4, con x ≠ 4
x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Se cancela el factor solo para x ≠ 4, valor excluido por el denominador original.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentido algebraico: expresiones equivalentes en ecuaciones lineales y cuadráticas y modelización; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · sentido algebraico: álgebra simbólica y formas equivalentes en relaciones funcionales y ecuaciones; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO