4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Relacionar radicales y potencias de exponente fraccionario.
- Simplificar y operar radicales compatibles extrayendo potencias perfectas.
- Comprobar las condiciones de existencia y de cada identidad en los números reales.
Antes de empezar
- Aplicar propiedades de potencias con base común.
- Descomponer enteros en factores.
- Reconocer cuadrados y cubos perfectos.
Una raíz deshace una potencia, dentro de su dominio
Para a ≥ 0 y n positivo, la raíz n-ésima principal de a es el número no negativo cuya potencia n vale a. La equivalencia a^(1/n) = ⁿ√a permite conectar el lenguaje de radicales y el de potencias.
Si el índice es par, el radicando debe ser no negativo cuando trabajamos en los reales. Con índice impar sí existen raíces reales de números negativos: ∛(−8) = −2.
- Exponente fraccionario
- Para valores reales donde la expresión está definida, a^(m/n) representa la raíz n-ésima de a^m. Antes de operar hay que atender al índice, al signo de la base y al dominio; la notación no borra esas condiciones.
Simplificar sin inventar sumas
- Factoriza el radicando buscando una potencia perfecta del índice.
- Extrae esa potencia y deja dentro el factor restante.
- Reduce solo radicales con el mismo índice y el mismo radicando.
- Eleva o sustituye para comprobar el resultado y vuelve a revisar el dominio.
Simplificación de √72
Extrae el mayor cuadrado perfecto.
- 72 = 36 · 2.
- √72 = √36 · √2, porque los factores son no negativos.
- √36 = 6.
√72 = 6√2.
Matemáticas A y Matemáticas B
- Matemáticas A
Prioriza elegir la representación y precisión útiles para resolver una situación real con números irracionales.
- Matemáticas B
Profundiza en propiedades, relaciones inversas y transformación simbólica de potencias y radicales.
Distribuir la raíz sobre una suma
Afirmar que √(9 + 16) = √9 + √16 = 7.
Calcular primero la suma: √(9 + 16) = √25 = 5.
La raíz del producto de factores no negativos puede separarse; la raíz de una suma, en general, no.
- Radical y exponente fraccionario son dos representaciones relacionadas.
- Con índice par, el radicando real no puede ser negativo.
- Solo se suman radicales semejantes.
- Toda propiedad se aplica con sus condiciones, no por semejanza visual.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 16^(1/2) → 4; 27^(1/3) → 3; 81^(3/4) → 27
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Respuesta: 25^(1/2) → 5; 8^(1/3) → 2; 32^(2/5) → 4
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Simplifica completamente √108.
Reduce 2√12+√27.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: 6√3 — Descompongo 108 como 36·3 y extraigo la raíz de 36, que es seis. El factor tres ya no contiene cuadrados mayores que uno, de modo que queda 6√3.
108=36·3, luego √108=6√3.
Respuesta: 7√3 — Como √12=2√3, el primer sumando es 4√3. También √27=3√3; al tener el mismo radical sumo cuatro y tres para obtener 7√3.
2√12=4√3 y √27=3√3.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Comprueba √(x−4) cuando x=2.
Comprueba la identidad √(x²)=x para x=−3.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se obtiene √(−2) y se declara real. → No existe como número real porque el radicando es negativo.
Una raíz par real exige radicando no negativo.
Respuesta: Se escribe √9=−3. → La raíz principal es 3; √(x²)=|x|, no x para valores negativos.
La raíz cuadrada principal es no negativa.
Reto integrador
Expresa 27^(2/3), simplifica √75+√12 y fija el dominio real de √(x−1).
Solución accesible sin interacción
- Entrega equivalencia, simplificación y dominio.
Respuesta: 9; 7√3; x≥1.
∛27=3 y 3²=9; √75=5√3, √12=2√3; x−1≥0.
Compruébalo ahora
Como en el taller del visual, separa un cuadrado perfecto y simplifica √48.
Ver solución explicada
Respuesta: 4√3
48 = 16 · 3, así que √48 = √16 · √3 = 4√3.
¿Qué expresión equivale a 16^(3/4)?
- 6
- 8
- 12
- 64
Ver solución explicada
Respuesta: 8
La raíz cuarta de 16 es 2 y 2³ = 8.
¿Existe √(x − 5) como número real cuando x = 3?
Ver solución explicada
Respuesta: No
Al sustituir aparece √(−2). Una raíz de índice par con radicando negativo no es real.
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentido numérico: operaciones con reales e irracionales en situaciones contextualizadas; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · sentido numérico: representaciones, propiedades e inversas de operaciones con números reales; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO