4.º de ESORuta de edumaterial
Qué vas a aprender
- Elegir y aplicar razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
- Calcular pendiente y obtener una ecuación de la recta a partir de datos suficientes.
- Distinguir el núcleo de Matemáticas B del trabajo sencillo de pendiente y ángulo de Matemáticas A.
Antes de empezar
- Aplicar el teorema de Pitágoras.
- Identificar catetos e hipotenusa.
- Calcular diferencias entre coordenadas.
Los cocientes sobreviven al cambio de escala
En triángulos rectángulos semejantes, los lados cambian de tamaño pero sus cocientes se mantienen. Para un ángulo agudo α, sen α = opuesto/hipotenusa, cos α = contiguo/hipotenusa y tan α = opuesto/contiguo.
La pendiente de una recta es Δy/Δx. En una rampa forma un puente entre geometría y álgebra: coincide con la tangente del ángulo de inclinación cuando se usan ejes con la misma escala.
- Ecuación de la recta
- Una forma es y − y₀ = m(x − x₀), donde m es la pendiente y (x₀, y₀) un punto de la recta. Dos puntos con distinta coordenada x determinan m y, por tanto, una única recta.
Resolver una medición indirecta
- Dibuja un triángulo rectángulo y marca el ángulo conocido.
- Identifica lado conocido y lado buscado respecto a ese ángulo.
- Elige seno, coseno o tangente según los lados implicados.
- Despeja, calcula con la calculadora en el modo angular correcto y comprueba orden de magnitud y unidades.
Triángulo 3–4–5
Para el ángulo α cuyo cateto opuesto mide 3 y el contiguo 4, calcula las razones.
- Pitágoras confirma la hipotenusa: √(3² + 4²) = 5.
- sen α = 3/5 y cos α = 4/5.
- tan α = 3/4.
sen α = 0,6; cos α = 0,8; tan α = 0,75.
No es una página común sin matices
- Matemáticas A
Trabaja la relación pendiente y ángulo en situaciones sencillas y modelos geométricos cotidianos.
- Núcleo de Matemáticas B
Incluye razones trigonométricas, representación mediante geometría analítica y selección de la ecuación de la recta adecuada.
Nombrar los catetos sin fijar el ángulo
Llamar siempre opuesto al cateto vertical.
Elegir primero α: el cateto que no toca ese ángulo es el opuesto y el otro, el contiguo.
Los nombres opuesto y contiguo son relativos al ángulo de referencia; la hipotenusa sí es siempre el lado frente al ángulo recto.
- Seno, coseno y tangente son cocientes entre lados respecto a un ángulo.
- La pendiente es cambio vertical dividido por cambio horizontal.
- Un punto y una pendiente determinan una recta.
- Trigonometría y geometría analítica constituyen el núcleo de Matemáticas B; A cubre pendiente y ángulo sencillos.
Comprueba 1: resuelve y justificaPrueba otro caso
Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.
Resuelve y relaciona el nuevo lote.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: sin α, opuesto 5 e hipotenusa 13 → 5/13; cos α, contiguo 12 e hipotenusa 13 → 12/13; tan α, opuesto 5 y contiguo 12 → 5/12
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Respuesta: sin β, opuesto 8 e hipotenusa 17 → 8/17; cos β, contiguo 15 e hipotenusa 17 → 15/17; tan β, opuesto 8 y contiguo 15 → 8/15
Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.
Comprueba 2: resuelve y justificaPrueba otro caso
Recta por P(2,1) y Q(6,7).
Recta por P(−1,4) y Q(3,−2).
Solución accesible sin interacción
Respuesta: m=3/2; y−1=(3/2)(x−2) — La variación vertical es 7−1=6 y la horizontal 6−2=4. Su cociente es 3/2; con P(2,1), la ecuación queda y−1=(3/2)(x−2).
m=(7−1)/(6−2)=3/2 y se usa el punto P.
Respuesta: m=−3/2; y−4=(−3/2)(x+1) — La pendiente es −6/4 y sustituyo P en la ecuación punto-pendiente.
m=(−2−4)/(3+1)=−3/2.
Comprueba 3: resuelve y justificaPrueba otro caso
Compara el alcance oficial de Matemáticas A y B.
Revisa la afirmación sobre pendiente en Matemáticas A.
Solución accesible sin interacción
Respuesta: Se afirma que ambas exigen el mismo núcleo trigonométrico completo. → La trigonometría y geometría analítica son núcleo expreso de B; A trabaja pendiente y ángulos sencillos.
La secuenciación debe conservar la diferencia A/B declarada en las fuentes.
Respuesta: Se afirma que la pendiente está ausente de A. → A también trabaja pendiente y ángulos sencillos; B profundiza en trigonometría y geometría analítica.
Compartir un saber básico no iguala todos los bloques de ambas opciones.
Reto integrador
Desde 20 m, una línea de visión tiene tangente 0,75. Halla altura, hipotenusa y la recta del perfil por el origen; declara el alcance A/B.
Solución accesible sin interacción
- Entrega medición, recta y distinción curricular sin ampliarla.
Respuesta: Altura 15 m, hipotenusa 25 m, y=0,75x; pendiente y ángulo sencillo sirven en A, trigonometría completa es núcleo de B.
15/20=0,75; √(15²+20²)=25; la recta por el origen con pendiente 0,75 es y=0,75x.
Compruébalo ahora
En un triángulo 3–4–5, calcula la tangente del ángulo cuyo opuesto mide 3.
Ver solución explicada
Respuesta: 3/4 = 0,75
La tangente es cateto opuesto entre cateto contiguo: 3/4.
Halla la pendiente de la recta que pasa por P(1, 2) y Q(5, 5).
Ver solución explicada
Respuesta: 3/4
m = (5 − 2)/(5 − 1) = 3/4.
Escribe una ecuación de la recta de pendiente 3/4 que pasa por P(1, 2).
Ver solución explicada
Respuesta: y − 2 = (3/4)(x − 1)
Se aplica la forma punto-pendiente con m = 3/4 y (x₀, y₀) = (1, 2).
Alineación curricular y fuentes
- Matemáticas A · 4.º ESO · sentido de la medida: pendiente y ángulo en situaciones sencillas, más modelización geométrica cotidiana; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO
- Matemáticas B · 4.º ESO · razones trigonométricas, geometría analítica y expresiones algebraicas de la recta; secuenciación propia · Real Decreto 217/2022, currículo básico de ESO