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Probabilidad y recuento: experimentos compuestos sin omisiones

4.º de ESORuta de edumaterial

Qué vas a aprender

  • Definir el espacio muestral de un experimento compuesto sin omitir resultados.
  • Elegir árbol, tabla o principio multiplicativo según importen orden y reemplazamiento.
  • Calcular probabilidades justificando equiprobabilidad y actualización de cada rama.

Antes de empezar

  • Expresar probabilidades como fracción.
  • Aplicar la regla de Laplace en experimentos simples.
  • Multiplicar fracciones.

Cada rama cambia la información disponible

Un experimento compuesto encadena varias etapas. El espacio muestral debe describir resultados completos, como azul–amarilla, no sucesos parciales. Un diagrama de árbol conserva el orden y ayuda a multiplicar probabilidades a lo largo de cada camino.

Con reemplazamiento, la composición inicial se recupera y las probabilidades de la siguiente extracción se mantienen. Sin reemplazamiento, el total y quizá el número de casos favorables cambian después de observar la primera extracción.

Principio multiplicativo
Si una primera decisión tiene m posibilidades y, para cada una, una segunda tiene n posibilidades, existen m·n resultados ordenados. Si el número de opciones cambia por rama, se cuentan los extremos del árbol o se suman los productos correspondientes.

Construir un modelo probabilístico

  1. Decide qué constituye un resultado y si el orden distingue resultados.
  2. Anota si hay reemplazamiento y actualiza cantidades tras cada extracción.
  3. Construye árbol o tabla con todas las ramas y comprueba que en cada nodo sus probabilidades suman 1.
  4. Multiplica dentro de una rama, suma ramas incompatibles que forman el suceso y aplica Laplace solo si los resultados elementales son equiprobables.

Dos fichas sin reemplazamiento

Una bolsa contiene 3 fichas azules y 2 amarillas. Halla la probabilidad de extraer dos azules sin devolver la primera.

  1. Primera azul: 3/5.
  2. Tras sacarla quedan 2 azules entre 4 fichas: 2/4.
  3. Multiplica la rama azul–azul: (3/5)(2/4).

P(dos azules) = 6/20 = 3/10.

Compartido por Matemáticas A y Matemáticas B

  • Matemáticas A

    Planifica y analiza incertidumbre, usa árboles, tablas y recuento y aplica los resultados a decisiones contextualizadas.

  • Matemáticas B

    Moviliza el mismo núcleo y profundiza en la justificación y comparación de estrategias dentro de contextos también matemáticos y científicos.

Mantener el denominador después de no devolver

En la segunda extracción seguir usando quintos aunque solo quedan cuatro fichas.

Actualizar numerador y denominador según la ficha retirada.

Sin reemplazamiento, cada rama condiciona la composición de la bolsa.

  • Un árbol enumera resultados completos y conserva el orden.
  • Con reemplazamiento las probabilidades se restauran; sin reemplazamiento cambian.
  • Se multiplican probabilidades dentro de una rama y se suman ramas incompatibles.
  • Laplace exige resultados elementales equiprobables y un recuento completo.

Comprueba 1: resuelve y justifica

Relaciona cada caso con su resultado o clasificación.

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Moneda y dado de seis caras → 12 resultados ordenados; Dos monedas → 4 resultados ordenados; 3 camisetas y 2 pantalones → 6 combinaciones

Cada pareja se obtiene aplicando la definición o el cálculo y comprobando el resultado.

Comprueba 2: resuelve y justifica

Bolsa con 4 rojas y 2 azules: P(roja y luego azul) sin reemplazo.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: 4/15 — Multiplico 4/6 por 2/5, porque queda una ficha menos en la segunda extracción.

(4/6)(2/5)=8/30=4/15.

Comprueba 3: resuelve y justifica

Dos extracciones sin reemplazo de una bolsa de 5.

Elige una respuesta

Solución accesible sin interacción

Respuesta: Tras retirar una ficha se vuelve a usar denominador 5. → La segunda probabilidad usa denominador 4 y actualiza el color retirado.

Sin reemplazo cambia la composición en cada rama.

Reto integrador

Bolsa con 3 azules y 2 amarillas: enumera caminos de color y calcula P(mismo color) y P(distinto) sin reemplazo.

Solución accesible sin interacción
  • Entrega espacio completo, recuento y probabilidades complementarias.

Respuesta: Caminos AA, AY, YA, YY; P(mismo)=2/5 y P(distinto)=3/5.

P(AA)=3/10, P(YY)=1/10: mismo 2/5. P(AY)=3/10 y P(YA)=3/10: distinto 3/5.

Una bolsa con tres fichas azules y dos amarillas se abre en dos senderos de primera extracción; cada sendero vuelve a dividirse mostrando una ficha menos cuando no hay reemplazamiento.
El árbol conserva cada decisión y hace visible que, sin reemplazamiento, la segunda bolsa ya no contiene cinco fichas.

Compruébalo ahora

  1. Ver la ilustración

    Con 3 fichas azules y 2 amarillas, calcula P(amarilla y después azul) sin reemplazamiento.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 3/10

    P(Ama y Azul) = (2/5)(3/4) = 6/20 = 3/10.

  2. Ver la ilustración

    Con la misma bolsa y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener dos fichas del mismo color.

    Ver solución explicada

    Respuesta: 2/5

    P(AA) = (3/5)(2/4) = 3/10 y P(YY) = (2/5)(1/4) = 1/10. La suma es 4/10 = 2/5.

  3. Ver la ilustración

    ¿Qué cambia al devolver la primera ficha antes de extraer la segunda?

    • La bolsa vuelve a tener cinco fichas
    • El orden deja de importar siempre
    • La primera probabilidad cambia después de observarla
    • Todos los colores se vuelven equiprobables
    Ver solución explicada

    Respuesta: La bolsa vuelve a tener cinco fichas

    El reemplazamiento restaura la composición inicial; no vuelve equiprobables los colores ni elimina automáticamente el orden.

Alineación curricular y fuentes